Samo da upotpunim Barbarin nice rad.
5. d) čini mi se je preskočen, pa evo ga s malim uvodom:
Ovdje je bitno kako se shvaćaju donja i gornja suma kad računamo površinu npr. za gornju sumu:
[latex]S(C)= \sum_{i,j} \max_{x \in A_{ij}} \chi(x) P(A_{ij})=\sum_{A_{ij}\cap C \ne \phi} P(A_{ij})[/latex]
To jest, prežive oni sumandi čiji odgovarajući pravokutnici bar malo sijeku naš traženi skup (znači, najbolja aproksimacija izvana).
Analogno se može zaključiti i za donju sumu da je to suma po svim pravokutnicima koji u potpunosti prekrivaju zadani skup, eksplicitno:
[latex]s(C)= \sum_{i,j} \min_{x \in A_{ij}} \chi(x) P(A_{ij})=\sum_{A_{ij}\subset C} P(A_{ij})[/latex]
tj. najbolja aproksimacija iznutra.
Ok, puno priče, ali naoružani s ovim zadatak ide lagano.
Rješenje:
Po pretpostavci tog dijela zadatka i C i D imaju površine. To znači da postoje odgovarajući infimumi gornjih suma.
Promotrimo neku gornju sumu za površinu od C i neku gornju sumu za D za neku subdiviziju na pravokutnike.
Primijetimo da vrijedi nejednakost:
[latex]S(C)= =\sum_{A_{ij}\cap C \ne \phi} P(A_{ij}) \le \sum_{A_{ij}\cap D \ne \phi} P(A_{ij}) = S(D)[/latex]
To jest, svaka gornja suma za C je omeđena gornjom sumom za D.
Kako površine postoje sada samo primijenimo infimum na obje strane jednadžbe te je to po definiciji upravo površina.
Ovo je vrlo slično prethodnom zadatku, te primijetimo da c) dio odmah slijedi iz d) dijela.
Sretno vam svima sutra :)
P.S. možda bi se moglo dokazati slično monotonosti vjerojatnosti, ali možda je malo teško onda dokazati da D\C ima površinu.
Samo da upotpunim Barbarin nice rad.
5. d) čini mi se je preskočen, pa evo ga s malim uvodom:
Ovdje je bitno kako se shvaćaju donja i gornja suma kad računamo površinu npr. za gornju sumu:
To jest, prežive oni sumandi čiji odgovarajući pravokutnici bar malo sijeku naš traženi skup (znači, najbolja aproksimacija izvana).
Analogno se može zaključiti i za donju sumu da je to suma po svim pravokutnicima koji u potpunosti prekrivaju zadani skup, eksplicitno:
tj. najbolja aproksimacija iznutra.
Ok, puno priče, ali naoružani s ovim zadatak ide lagano.
Rješenje:
Po pretpostavci tog dijela zadatka i C i D imaju površine. To znači da postoje odgovarajući infimumi gornjih suma.
Promotrimo neku gornju sumu za površinu od C i neku gornju sumu za D za neku subdiviziju na pravokutnike.
Primijetimo da vrijedi nejednakost:
To jest, svaka gornja suma za C je omeđena gornjom sumom za D.
Kako površine postoje sada samo primijenimo infimum na obje strane jednadžbe te je to po definiciji upravo površina.
Ovo je vrlo slično prethodnom zadatku, te primijetimo da c) dio odmah slijedi iz d) dijela.
Sretno vam svima sutra
P.S. možda bi se moglo dokazati slično monotonosti vjerojatnosti, ali možda je malo teško onda dokazati da D\C ima površinu.
|