|
Tekst koji slijedi uglavnom je kopija odgovarajućeg tumačenja
istih zadataka otprije godinu dana, samo što je ovaj put zadani
prostor P3 (polinomi stupnja najviše 3) umjesto općenito Pn.
Neke od najčešćih pogrešaka odnose se na zadatke gdje se
treba ispitati je li zadani skup polinoma sustav izvodnica
prostora P3 (prostora polinoma stupnja najviše 3) i to
(a) podskup S svih polinoma sa svojstvom p(1) = 1
(b) podskup S svih polinoma sa svojstvom p(1) = 0
(c) podskup S svih polinoma sa svojstvom p(0) = 1
Zbog toga slijedi detaljno objašnjenje.
U rješenjima ima puno miješanja pojmova i oznaka,
naročito između «običnog» (i to konačnog) skupa i
vektorskog prostora, odnosno linearne ljuske takvog skupa,
zatim «dimenzije skupa», «dimenzije baze», kardinalnog broja
vektorskog prostora..., a da se u svim slučajevima
zapravo misli na dimenziju nekog prostora ili potprostora.
Evo bitnih činjenica:
(a) Taj podskup S nije potprostor, ali jest sustav izvodnica
jer sadrži bazu cijelog prostora, najočitije cijelu
standardnu bazu (polinomi t^k svi su u tom skupu
za k=0,1,..,3).
Najčešće bi se izrazio opći element podskupa u obliku
p(t) = a_3(t^3-1) + a_2(t^2– 1) +...+a_1(t - 1) + 1.
To je u redu, no zatim obično slijedi posve pogrešan
zaključak kako je taj skup linearna ljuska skupa polinoma
{t^3 –1, t^2 – 1, t –1, 1}, a kako ovi čine bazu, onda
je promatrani skup S sustav izvodnica.
Ne – u navedenoj bazi samo konstanta 1 pripada skupu S, dok
svi ostali za t=1 daju 0, jasno, i uopće se ne nalaze u S.
U polinomu p(t) navedenog
oblika onaj « +1 » uvijek se pojavljuje, ne pomnožen
varijabilnim skalarom i zapravo se S dobiva «pomicanjem»
(translacijom) potprostora [t^3 –1, t^2 – 1, t –1] za
konstantu 1. Taj potprostor je dimenzije 3, nije cijeli P3,
no kad se polinomima koji ga razapinju pribroji 1, dobivaju
se, zajedno s 1, polinomi standardne baze za P3.
Oni se svi nalaze u S
pa je S sustav izvodnica.
U nekim rješenjima (korektnim), ako se i nije odmah uočilo
da S sadrži standardnu bazu, to je onda dobiveno izborom
koeficijenata (po jedan 1, ostalo 0) u gore napisanom
općem obliku polinoma p(t) iz S.
(b) Skup S je potprostor, dimenzije 3, njegova linearna
ljuska je on sam, dakle nije to cijeli prostor P3.
{t^3 –1, t^2 – 1, t –1}.
Dakle, skup iz (a) usko je povezan sa S iz (b),
No, S u (a) jest sustav izvodnica, a S u (b) to nije.
Onaj « +1 » upravo je «zaslužan» za to.
Za točno rješenje nije se moralo uopće baratati pojmom
potprostora, dovoljno je uočiti (kako su neki i učinili)
da se linearnim kombinacijama polinoma iz S u (b)
uvijek dobivaju polinomi za koje vrijedi p(1) = 0, a očito
nisu svi polinomi takvi, npr. polinom 1.
(c) Riječ je o skupu svih polinoma u prostoru kojima je
slobodni član jednak 1. Naravno da taj skup sadrži bazu,
ne baš kanonsku, nego npr. bazu
{t^3 +1, t^2 + 1, t +1, 1} pa je u ovom slučaju S skup izvodnica.
Tekst koji slijedi uglavnom je kopija odgovarajućeg tumačenja
istih zadataka otprije godinu dana, samo što je ovaj put zadani
prostor P3 (polinomi stupnja najviše 3) umjesto općenito Pn.
Neke od najčešćih pogrešaka odnose se na zadatke gdje se
treba ispitati je li zadani skup polinoma sustav izvodnica
prostora P3 (prostora polinoma stupnja najviše 3) i to
(a) podskup S svih polinoma sa svojstvom p(1) = 1
(b) podskup S svih polinoma sa svojstvom p(1) = 0
(c) podskup S svih polinoma sa svojstvom p(0) = 1
Zbog toga slijedi detaljno objašnjenje.
U rješenjima ima puno miješanja pojmova i oznaka,
naročito između «običnog» (i to konačnog) skupa i
vektorskog prostora, odnosno linearne ljuske takvog skupa,
zatim «dimenzije skupa», «dimenzije baze», kardinalnog broja
vektorskog prostora..., a da se u svim slučajevima
zapravo misli na dimenziju nekog prostora ili potprostora.
Evo bitnih činjenica:
(a) Taj podskup S nije potprostor, ali jest sustav izvodnica
jer sadrži bazu cijelog prostora, najočitije cijelu
standardnu bazu (polinomi t^k svi su u tom skupu
za k=0,1,..,3).
Najčešće bi se izrazio opći element podskupa u obliku
p(t) = a_3(t^3-1) + a_2(t^2– 1) +...+a_1(t - 1) + 1.
To je u redu, no zatim obično slijedi posve pogrešan
zaključak kako je taj skup linearna ljuska skupa polinoma
{t^3 –1, t^2 – 1, t –1, 1}, a kako ovi čine bazu, onda
je promatrani skup S sustav izvodnica.
Ne – u navedenoj bazi samo konstanta 1 pripada skupu S, dok
svi ostali za t=1 daju 0, jasno, i uopće se ne nalaze u S.
U polinomu p(t) navedenog
oblika onaj « +1 » uvijek se pojavljuje, ne pomnožen
varijabilnim skalarom i zapravo se S dobiva «pomicanjem»
(translacijom) potprostora [t^3 –1, t^2 – 1, t –1] za
konstantu 1. Taj potprostor je dimenzije 3, nije cijeli P3,
no kad se polinomima koji ga razapinju pribroji 1, dobivaju
se, zajedno s 1, polinomi standardne baze za P3.
Oni se svi nalaze u S
pa je S sustav izvodnica.
U nekim rješenjima (korektnim), ako se i nije odmah uočilo
da S sadrži standardnu bazu, to je onda dobiveno izborom
koeficijenata (po jedan 1, ostalo 0) u gore napisanom
općem obliku polinoma p(t) iz S.
(b) Skup S je potprostor, dimenzije 3, njegova linearna
ljuska je on sam, dakle nije to cijeli prostor P3.
{t^3 –1, t^2 – 1, t –1}.
Dakle, skup iz (a) usko je povezan sa S iz (b),
No, S u (a) jest sustav izvodnica, a S u (b) to nije.
Onaj « +1 » upravo je «zaslužan» za to.
Za točno rješenje nije se moralo uopće baratati pojmom
potprostora, dovoljno je uočiti (kako su neki i učinili)
da se linearnim kombinacijama polinoma iz S u (b)
uvijek dobivaju polinomi za koje vrijedi p(1) = 0, a očito
nisu svi polinomi takvi, npr. polinom 1.
(c) Riječ je o skupu svih polinoma u prostoru kojima je
slobodni član jednak 1. Naravno da taj skup sadrži bazu,
ne baš kanonsku, nego npr. bazu
{t^3 +1, t^2 + 1, t +1, 1} pa je u ovom slučaju S skup izvodnica.
|
