zadatak (možda težak?)

[Gost]

Molim pomoć ako netko zna riješiti ovaj zadatak:
Kvadratne matrice A i B takve da je AB-BA = C, gdje je C zadana matrica, postoje ako i samo ako je trag C jednak 0.
Hvala!

[ahri]

umnoskom AB na dijagonali dobivamo:

ab[i,i]=ai * bi' (a1 je prvi red matrice a, b1' je prvi stupac matrice b)

umnoskom BA na dijagonali dobivamo
ba[i,i]=bi*ai'

pa je

ab[i,i]-ba[i,i]=ai*bi' - ai'*bi

prosumiramo sve i-eve:

trag(ab-ba)=suma(i=1;i⇐n;i++)[ai*bi' - ai'*bi]=
suma(i=1;⇐n;i++)suma(j=1;j⇐n;j++)[aij*bji - aji*bij]=
{rastavimo na 2 sume, u jednoj promjenimo poredak sumacije}=0 = trag(c).

dakle, jedan, laksi, smjer je gotov. drugi ide ekvivalentno. :)

_________________

[Gost]

Ne baš, jasno je da je trag od AB-BA jednak 0, dakle da je to nužno, ali nipošto nije jasno da za zadanu C možemo naći takve A i B da bude AB-BA=C, ako je tr C = 0.

[ahri]

to se slazem, zato taj smjer nisam ni napisao :))

_________________

[veky]

Ono što ti (vjerojatno) treba je prilično detaljno opisano u http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/trace0.pdf .

HTH,

[Gost]

Super, puno hvala! (I rekao bih da zbilja nije "običan" zadatak).

[veky]

[Gost]

Da, rješenje Omarjeea zapravo je samo ukratko prepričano isto ono iz članka u pdf-u. U međuvremenu sam našao u biti isto rješenje u zbirci Fadjejev-Sominski. Zadatak ima *, srećom...