linearni operatori sa polinomima

[goc9999]

polinomi R2->polinomi R3
A(1)=1
A(x)=x^2
A(x^2)=x+x^3
koliko je A(a-1+bx+cx^2)=?
koja matrica tog operatora i ako moze u nekoj bazi ta matrica?
zanima me bas postupak pa ak bi moglo malo detaljnije da se objasni!

thx

_________________
10100111001

[sleeper]

Treba zadani polinom shvatiti kao linearnu kombinaciju
1, x i x^2:

A(a-1 + bx + cx^2) = A(a-1) + A(bx) + A(c x^2) =
(a-1) A(1) + b A(x) + c A(x^2) = a-1 + bx^2 + c(x + x^3).

Matrica je tipa 4 x 3:

1 0 0

0 0 1

0 1 0

0 0 1


ako uzmes standardne baze za polinome, 1, x, x^2, x^3.

[goc9999]

thx, a dali moze primjer te matrice u nekoj drugoj bazi?

_________________
10100111001

[sleeper]

Može primjera koliko hoćeš, jedna mogućnost je da si zadaš bazu pa petljaš s linearnim kombinacijama, ali ovo ti je baš prilika da malo vježbaš i matrice prijelaza, dakle ako onu matricu iz prethodnog posta označimo A (kao i operator, nije sad bitno), matrica B u drukčijem paru baza bit će
B = S^-1 A T, pri čemu su S i T odgovarajuće matrice prijelaza.
Za bazu uzmeš npr. 1, 1+x, 1+x^2, odnosno isto to i još 1+x^3 i eto prilike za malo računanja. E sad ako je daljnje pitanje što je to matrica prijelaza, nemam ovaj čas vremena...

[Gost]

Možda bi čovjeku koristila napomena kako se uopće biraju različite baze - a to je valjda najjednostavnije biranjem regularnih matrica čiji stupci su onda vektori "nove" baze izraženi u kanonskoj bazi. Regularne matrice mogu se dobiti primjenom elementarnih transformacija po volji na jediničnu matricu. Npr. trokutaste matrice koje na dijagonali nemaju nijednu nulu su "instant" dobre. Isprika ako je ovo previše trivijalna primjedba, ali čini mi se da je možda i to bilo sadržano u pitanju.