|
Budući da je glavna tema predavanja bila konstrukcija dizajna
pomoću t-struko homogenih grupa (Teorem 3.16 u skriptama), a spomenuti
su i neki ključni primjeri kojih nema u skriptama, ovdje navodim nekoliko
najvažnijih pojedinosti koje nisu sve "razrađene" na predavanju. Nadam se
da će dobro doći i onima koji su slušali predavanje i (pogotovo) ostalima,
a ima tu i dosta mogućnosti za vježbanje. Ponovno ističem: prvo treba
(npr. iz skripti) usvojiti terminologiju i zatim izreku te dokaz
Teorema 3.16 o tome kako se pomoću
t-homogene (posebno, t- tranzitivne) grupe konstruira t-(v, k, λ) dizajn.
1. Grupa AGL(1,q) (afina grupa), F je konačno polje GF(q), grupa se sastoji
od preslikavanja oblika φ (x) = ax+b, pri čemu su a, b iz F, a ≠ 0.
To je strogo dvostruko tranzitivna grupa na F, što znači da postoji točno jedan element
grupe koji zadani uređeni par (x1,y1) različitih elemenata grupe preslikava u zadani
uređeni par (x2,y2) različitih elemenata grupe. To se lako provjeri izravnim računom.
Red grupe je stoga q(q-1).
Primjer: F = GF(9). Red grupe je 72. Različitim izborima tročlanog podskupa
B od F (k=3) mogu se dobiti različiti 2-(9,3, λ) dizajni, ovisno o redu stabilizatora
podskupa B pod djelovanjem grupe (formula za λ nalazi se u Teoremu 3.16).
Tako se za stabilizator reda 6 dobije 2-(9,3,1) dizajn (afina ravnina reda 3), a za
stabilizator reda 1 (trivijalni) λ = 6 pa se dobije 2-(9,3,6) dizajn.
Izračunavanje stabilizatora za različite izbore B (bez gotovih programa) zahtijeva
dosta posla.
Drugi primjer: F = GF(11), red grupe je 110. Može se npr. birati 5-člani
podskup polja, recimo skup {1,3,4,5,9} (kvadrati različiti od 0) pa ispitati
dobiva li se na taj način Hadamardov 2-(11,5,2) ili neki drugi 2-(11,5,λ )
dizajn.
2. Grupa PGL(2,q) (projektivna grupa), F je polje GF(q), grupa je inducirana općom
linearnom grupom i sastoji se od razlomljenih linearnih transformacija
α(x) = (ax+b)/(cx+d) pri čemu je ad-bc ≠ 0 na skupu X = GF(q) U {∞} (to je
projektivni pravac PG(1,q)), uz α(∞) = a/c, α(-d/c) = ∞.
Uzimaju se uobičajene konvencije u računanju sa simbolom ∞, npr. a∞ = ∞, 1/0 = ∞.
PGL(2,q) je strogo 3-tranzitivna na X (dovoljno je provjeriti da postoji jedinstveni
element grupe koji preslika trojku (0,∞,1) u zadanu trojku (x,y,z) različitih elemenata
od X.
Uočimo da je stabilizator točke ∞ u ovoj grupi upravo grupa AGL(1,q).
Za primjer može se uzeti GF(7) i tražiti 3-(8,k,λ ) dizajne.
Za bilo koji prirodni n i q koji je potencija primbroja može se uzeti X = PG(1,q**n) i
B = PG(1,q) kao (q+1)-člani podskup od X. Primjenom PGL(2,q**n) dobiva se onda
3-(q**n + 1, q+1, 1) dizajn (Wittov teorem). Pritom je glavni dio posla odrediti λ,
odnosno stabilizator podskupa PG(1,q) unutar X. Jasno je da PGL(2,q) kao podgrupa
od PGL(2,q**n) ostavlja B = PG(1,q) invarijantnim, a onda se vidi da je upravo to i
cijeli stabilizator. Stoga je λ = 1. Tako imamo npr. 3-(26,6,1) dizajn.
Budući da je glavna tema predavanja bila konstrukcija dizajna
pomoću t-struko homogenih grupa (Teorem 3.16 u skriptama), a spomenuti
su i neki ključni primjeri kojih nema u skriptama, ovdje navodim nekoliko
najvažnijih pojedinosti koje nisu sve "razrađene" na predavanju. Nadam se
da će dobro doći i onima koji su slušali predavanje i (pogotovo) ostalima,
a ima tu i dosta mogućnosti za vježbanje. Ponovno ističem: prvo treba
(npr. iz skripti) usvojiti terminologiju i zatim izreku te dokaz
Teorema 3.16 o tome kako se pomoću
t-homogene (posebno, t- tranzitivne) grupe konstruira t-(v, k, λ) dizajn.
1. Grupa AGL(1,q) (afina grupa), F je konačno polje GF(q), grupa se sastoji
od preslikavanja oblika φ (x) = ax+b, pri čemu su a, b iz F, a ≠ 0.
To je strogo dvostruko tranzitivna grupa na F, što znači da postoji točno jedan element
grupe koji zadani uređeni par (x1,y1) različitih elemenata grupe preslikava u zadani
uređeni par (x2,y2) različitih elemenata grupe. To se lako provjeri izravnim računom.
Red grupe je stoga q(q-1).
Primjer: F = GF(9). Red grupe je 72. Različitim izborima tročlanog podskupa
B od F (k=3) mogu se dobiti različiti 2-(9,3, λ) dizajni, ovisno o redu stabilizatora
podskupa B pod djelovanjem grupe (formula za λ nalazi se u Teoremu 3.16).
Tako se za stabilizator reda 6 dobije 2-(9,3,1) dizajn (afina ravnina reda 3), a za
stabilizator reda 1 (trivijalni) λ = 6 pa se dobije 2-(9,3,6) dizajn.
Izračunavanje stabilizatora za različite izbore B (bez gotovih programa) zahtijeva
dosta posla.
Drugi primjer: F = GF(11), red grupe je 110. Može se npr. birati 5-člani
podskup polja, recimo skup {1,3,4,5,9} (kvadrati različiti od 0) pa ispitati
dobiva li se na taj način Hadamardov 2-(11,5,2) ili neki drugi 2-(11,5,λ )
dizajn.
2. Grupa PGL(2,q) (projektivna grupa), F je polje GF(q), grupa je inducirana općom
linearnom grupom i sastoji se od razlomljenih linearnih transformacija
α(x) = (ax+b)/(cx+d) pri čemu je ad-bc ≠ 0 na skupu X = GF(q) U {∞} (to je
projektivni pravac PG(1,q)), uz α(∞) = a/c, α(-d/c) = ∞.
Uzimaju se uobičajene konvencije u računanju sa simbolom ∞, npr. a∞ = ∞, 1/0 = ∞.
PGL(2,q) je strogo 3-tranzitivna na X (dovoljno je provjeriti da postoji jedinstveni
element grupe koji preslika trojku (0,∞,1) u zadanu trojku (x,y,z) različitih elemenata
od X.
Uočimo da je stabilizator točke ∞ u ovoj grupi upravo grupa AGL(1,q).
Za primjer može se uzeti GF(7) i tražiti 3-(8,k,λ ) dizajne.
Za bilo koji prirodni n i q koji je potencija primbroja može se uzeti X = PG(1,q**n) i
B = PG(1,q) kao (q+1)-člani podskup od X. Primjenom PGL(2,q**n) dobiva se onda
3-(q**n + 1, q+1, 1) dizajn (Wittov teorem). Pritom je glavni dio posla odrediti λ,
odnosno stabilizator podskupa PG(1,q) unutar X. Jasno je da PGL(2,q) kao podgrupa
od PGL(2,q**n) ostavlja B = PG(1,q) invarijantnim, a onda se vidi da je upravo to i
cijeli stabilizator. Stoga je λ = 1. Tako imamo npr. 3-(26,6,1) dizajn.
|
