|
Evo zadataka, za neko vrijeme bit će i rješenja,
a rezultati vjerojatno sutra, ovdje na forumu.
1. Za navedene vrijednosti parametara ispitajte da li odgovarajući dizajn
(a) može postojati, (b) postoji ili (c) ne može postojati. Obrazložite odgovore,
pri čemu navedite kojim se rezultatima i tvrdnjama služite.
i) 2-(2015,15,5) dizajn; (ii) 2-(403,3,1) dizajn («skraćivanjem» brojeva
iz (i) s 5); (iii) simetrični 2-(v,15,5) dizajn za neki v; (iv) za koju najmanju
vrijednost v bi mogao postojati 2-(v,15,5) dizajn te bi li to mogao biti
rezidualni (u bloku) dizajn nekog simetričnog dizajna?
2. Neka je S 2-(v,3,1) dizajn s v ≥ 9 točaka (tj. STS(v), Steinerov sustav
trojki od v točaka). Označimo skup blokova od S s B i definiramo
incidencijsku strukturu D = (B, L, ∊) čije «točke» su blokovi iz S,
a njezini («novi») blokovi su skupovi Li zadani ovako: za svaki B_i ∊ B
neka je L_i = {B_i} U { B ∊ B : B ∩ B_i = ∅ }.
(a) Dokažite da je D uniformna i regularna struktura (simetrična
konfiguracija) te izrazite njezine parametre pomoću v.
(b) Dokažite da postoji točno jedna vrijednost v za koju je D dizajn
(pa onda i simetrični dizajn). Koji su njegovi parametri?
(Napomena: iako se svi parametri u S lako izražavaju pomoću v,
pri dokazivanju (a) i (b) može biti praktičnije služiti se parametrima
b i r iz S, a tek u završnim rezultatima sve izraziti pomoću v).
3. U mjesecu srpnju, u jeku turističke sezone, u jednom primorskom gradu
treba organizirati danonoćna dežurstva na plažama. Postoji deset
punktova. U dnevnoj smjeni na svakom trebaju biti po dva čuvara/
spasioca i još jedan rezervni koji obilazi sve punktove, dok je u noćnoj
smjeni dovoljno da na svakom punktu bude jedan dežurni, bez rezervnog.
Koliko čuvara/spasilaca treba angažirati, ako će svaki raditi svaki dan u
mjesecu, bilo u dnevnoj ili noćnoj smjeni, uz uvjet da svi budu podjednako
opterećeni (i dnevnim i noćnim smjenama)? Kojom kombinatoričkom
strukturom bi se mogao ostvariti željeni raspored dežurstava te jesu
li ispunjeni poznati uvjeti egzistencije za takvu strukturu?
4. Neka je F = GF(q) konačno polje s q elemenata. Poznato je da na
skupu PG(1,q) = GF(q) U { ∞} djeluje grupa G koja se sastoji od
svih preslikavanja oblika φ (x) = (ax+b)/(cx+d), ad-bc ≠ 0, uz
uobičajeni način računanja sa simbolom ∞. Izaberemo li q = 7,
kakve dizajne (s kojim parametrima) u načelu možemo dobiti
djelovanjem G na odabrani podskup B ⊂ PG(1,q), pri čemu je
PG(1,q) skup točaka, a B osnovni blok? Kakav broj elemenata
od B može biti od interesa za dobivanje netrivijalne strukture?
Odredite sve parametre dobivenog dizajna ako se izabere
B = {∞, 0, 1, -1} (-1 = 6 (mod 7)).
Evo zadataka, za neko vrijeme bit će i rješenja,
a rezultati vjerojatno sutra, ovdje na forumu.
1. Za navedene vrijednosti parametara ispitajte da li odgovarajući dizajn
(a) može postojati, (b) postoji ili (c) ne može postojati. Obrazložite odgovore,
pri čemu navedite kojim se rezultatima i tvrdnjama služite.
i) 2-(2015,15,5) dizajn; (ii) 2-(403,3,1) dizajn («skraćivanjem» brojeva
iz (i) s 5); (iii) simetrični 2-(v,15,5) dizajn za neki v; (iv) za koju najmanju
vrijednost v bi mogao postojati 2-(v,15,5) dizajn te bi li to mogao biti
rezidualni (u bloku) dizajn nekog simetričnog dizajna?
2. Neka je S 2-(v,3,1) dizajn s v ≥ 9 točaka (tj. STS(v), Steinerov sustav
trojki od v točaka). Označimo skup blokova od S s B i definiramo
incidencijsku strukturu D = (B, L, ∊) čije «točke» su blokovi iz S,
a njezini («novi») blokovi su skupovi Li zadani ovako: za svaki B_i ∊ B
neka je L_i = {B_i} U { B ∊ B : B ∩ B_i = ∅ }.
(a) Dokažite da je D uniformna i regularna struktura (simetrična
konfiguracija) te izrazite njezine parametre pomoću v.
(b) Dokažite da postoji točno jedna vrijednost v za koju je D dizajn
(pa onda i simetrični dizajn). Koji su njegovi parametri?
(Napomena: iako se svi parametri u S lako izražavaju pomoću v,
pri dokazivanju (a) i (b) može biti praktičnije služiti se parametrima
b i r iz S, a tek u završnim rezultatima sve izraziti pomoću v).
3. U mjesecu srpnju, u jeku turističke sezone, u jednom primorskom gradu
treba organizirati danonoćna dežurstva na plažama. Postoji deset
punktova. U dnevnoj smjeni na svakom trebaju biti po dva čuvara/
spasioca i još jedan rezervni koji obilazi sve punktove, dok je u noćnoj
smjeni dovoljno da na svakom punktu bude jedan dežurni, bez rezervnog.
Koliko čuvara/spasilaca treba angažirati, ako će svaki raditi svaki dan u
mjesecu, bilo u dnevnoj ili noćnoj smjeni, uz uvjet da svi budu podjednako
opterećeni (i dnevnim i noćnim smjenama)? Kojom kombinatoričkom
strukturom bi se mogao ostvariti željeni raspored dežurstava te jesu
li ispunjeni poznati uvjeti egzistencije za takvu strukturu?
4. Neka je F = GF(q) konačno polje s q elemenata. Poznato je da na
skupu PG(1,q) = GF(q) U { ∞} djeluje grupa G koja se sastoji od
svih preslikavanja oblika φ (x) = (ax+b)/(cx+d), ad-bc ≠ 0, uz
uobičajeni način računanja sa simbolom ∞. Izaberemo li q = 7,
kakve dizajne (s kojim parametrima) u načelu možemo dobiti
djelovanjem G na odabrani podskup B ⊂ PG(1,q), pri čemu je
PG(1,q) skup točaka, a B osnovni blok? Kakav broj elemenata
od B može biti od interesa za dobivanje netrivijalne strukture?
Odredite sve parametre dobivenog dizajna ako se izabere
B = {∞, 0, 1, -1} (-1 = 6 (mod 7)).
|
