|
Rješenje 3. zadatka:
3. Brojevi su namješteni tako da za svaki od 31 dana u mjesecu treba sastaviti
dvije dežurne ekipe, po 21 odnosno 10 čuvara, pa se s 21+10 = 31 cilja na
simetričnu konfiguraciju. Preciznije, na dva uzajamno komplementarna dizajna
s parametrima 2-(31,10, λ) i 2-(31, 21, λ+11). Odgovara vrijednost λ = 3, a
simetrični dizajni 2-(31,10,3) doista postoje (no, teško ih je konstruirati bez
dodatnog znanja i tehnike, ali to se niti ne traži). Uvjet Bruck-Ryser-Chowla daje
diofantsku jednadžbu 7 x**2 – 3 y**2 = z**2, s očiglednim rješenjem (1,1,2).
Rješenje 4. zadatka:
4. Bitno je znati da je grupa G (strogo) 3-tranzitivna na PGL(1,F).
Njezinim djelovanjem na k-člani podskup B dobiva se 3-(q+1, k, λ) dizajn
pri čemu je
λ određen formulom iz Teorema 3.16. u skriptama.
Za izračunavanje λ bitno
je odrediti red stabilizatora podskupa B pod djelovanjem G
(tj. broj elemenata grupe G koji podskup B ostavljaju invarijantnim u cjelini).
Vrijednosti k < 4 nisu od interesa jer se zbog 3-struke tranzitivnosti dobivaju
potpuni dizajni (npr. svi 3-člani podskupovi točaka za k = 3).
Za q=7 imamo 8 točaka pa nisu od interesa ni vrijednosti k>4 (gleda se
komplementarno, 3-tranzitivnost implicira 5-struku homogenost).
Za k = 4 dobit će se neki 3-(8,4,λ) dizajn. Uzme li se zadani B kao najjednostavniji
za računanje, vidi se da je stabilizator od B u G podgrupa reda 8.
Sastoji se, osim identitete, od preslikavanja koja x preslikavaju, redom u
-x, 1/x, -1/x, (x-1)/(x+1), (x+1)/(x-1), (-x+1)/(x+1), (x+1)/(-x+1).
Dobiva se onda 3-(8,4,3) dizajn.
(Napominjem da je rješavanje ovog primjera kao priprema za kolokvij
sugerirano u postu od 8. svibnja).
Rješenje 3. zadatka:
3. Brojevi su namješteni tako da za svaki od 31 dana u mjesecu treba sastaviti
dvije dežurne ekipe, po 21 odnosno 10 čuvara, pa se s 21+10 = 31 cilja na
simetričnu konfiguraciju. Preciznije, na dva uzajamno komplementarna dizajna
s parametrima 2-(31,10, λ) i 2-(31, 21, λ+11). Odgovara vrijednost λ = 3, a
simetrični dizajni 2-(31,10,3) doista postoje (no, teško ih je konstruirati bez
dodatnog znanja i tehnike, ali to se niti ne traži). Uvjet Bruck-Ryser-Chowla daje
diofantsku jednadžbu 7 x**2 – 3 y**2 = z**2, s očiglednim rješenjem (1,1,2).
Rješenje 4. zadatka:
4. Bitno je znati da je grupa G (strogo) 3-tranzitivna na PGL(1,F).
Njezinim djelovanjem na k-člani podskup B dobiva se 3-(q+1, k, λ) dizajn
pri čemu je
λ određen formulom iz Teorema 3.16. u skriptama.
Za izračunavanje λ bitno
je odrediti red stabilizatora podskupa B pod djelovanjem G
(tj. broj elemenata grupe G koji podskup B ostavljaju invarijantnim u cjelini).
Vrijednosti k < 4 nisu od interesa jer se zbog 3-struke tranzitivnosti dobivaju
potpuni dizajni (npr. svi 3-člani podskupovi točaka za k = 3).
Za q=7 imamo 8 točaka pa nisu od interesa ni vrijednosti k>4 (gleda se
komplementarno, 3-tranzitivnost implicira 5-struku homogenost).
Za k = 4 dobit će se neki 3-(8,4,λ) dizajn. Uzme li se zadani B kao najjednostavniji
za računanje, vidi se da je stabilizator od B u G podgrupa reda 8.
Sastoji se, osim identitete, od preslikavanja koja x preslikavaju, redom u
-x, 1/x, -1/x, (x-1)/(x+1), (x+1)/(x-1), (-x+1)/(x+1), (x+1)/(-x+1).
Dobiva se onda 3-(8,4,3) dizajn.
(Napominjem da je rješavanje ovog primjera kao priprema za kolokvij
sugerirano u postu od 8. svibnja).
|
