Nekoliko zanimljivih zadataka :)

[AlterEgo]

Pozdrav ljudi,

Izdvojih vam par jednostavnih "teoretskih" zadataka za vježbu,
vjerujem da će dobro doći za provježbati teoriju za kolokvij,
odnosno usmeni ispit Rješenja ću isto objaviti prije kolokvija,
ali preporučam da pokušate sami riješiti te zadatke do tada

1. Neka je B=T^-1*A*T za neke A, B iz Mn(F) i neku regularnu
matricu T te neka je p polinom. Pokažite da je p(B)=T^-1*p(A)*T.

2. Neka su A, B simetrične matrice. Pokažite da je A*B simetrična
ako i samo ako A i B komutiraju.

3. Mora li inverz regularne simetrične matrice biti simetrična matrica?

4. Neka su A, B iz Mn(F). Vrijedi li sljedeća implikacija:
A*B invertibilna => A invertibilna? Vrijedi li (i kada) obrat?

5. Postoje li dvije matrice A, B iz Mn(F) takve da je AB-BA=I?
(Hint: tr(I)=n)

_________________
Teorem. Svi prirodni brojevi su zanimljivi.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da postoji neki prirodan broj n koji nije zanimljiv. Ali upravo zato je zanimljiv. Kontradikcija.
QED

[AlterEgo]

I evo rješenja
Ako niste još ni pogledali zadatke svakako pokušajte bez pregleda

1. B=T^-1*A*T
p(x)=an*x^n+...+a1*x*+a0, odnosno p(A)=an*A^n+...+a1*A+a0*I
p(B)=an*(T^-1*A*T)^n+...+a1*(T^-1*A*T)+a0*I [I=T^-1*T]
=T^-1*an*A^n*T+...+T^-1*a1*A*T+T^-1*a0*T
=T^-1*(an*A^n*T+...+a1*A*T+a0*T)
=T^-1*((an*A^n+...+a1*A+a0*I)*T)
=T^-1*(an*A^n+...+a1*A+a0*I)*T
=T^-1*p(A)*T

2. A=At, B=Bt (uvjet x)
A*B simetrična ⇒ A i B komutiraju
A*B=(A*B)t=Bt*At=(x)=B*A
A i B komutiraju ⇒ A*B simetrična
A*B=B*A=(x)=Bt*At=(A*B)t

3. A=At (x)
A^-1=(x)=(At)^-1=(A^-1)t
Ili.. I=It=(A^-1*A)t=At*(A^-1)t=(x)=A*(A^-1)t (=I)
Ali vrijedi i A*A^-1=I pa zbog jedinstvenosti inverza A^-1=(A^-1)t

4. Najefikasniji način za riješiti ovaj zadatak je preko determinante.
A*B invertibilna ⇒ det(A*B) nije 0 [det(A*B)=detA*detB]
⇒ detA nije 0, detB nije 0 ⇒ A invertibilna
Obrat dakako ne vrijedi općenito što je opet preko determinante lako uočiti.
Sada znamo da je detA različit od 0, a nama treba det(A*B) različit od 0,
a jasno da će to vrijediti ako je detB različit od 0, odnosno ako je B invertibilna.

5. Pretpostavimo suprotno, da postoje takve matrice A=[a(i,j)] i B=[b(i,j)].
Onda znamo da tr(AB-BA)=tr(I)=n.
tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA). Dakle naš dokaz se svodi na dokazivanje
tr(AB)=tr(BA). Ali dokaz toga ste radili i na vježbama, no za ponavljanje postavite
AB=[c(i,j)], BA=[d(i,j)] (zanimaju nas samo elementi na dijagonali)
U konačnici se dakle dobije tr(AB)=tr(BA), odnosno
0=tr(AB-BA)=tr(I)=n>0, odnosno kontradikcija.

_________________
Teorem. Svi prirodni brojevi su zanimljivi.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da postoji neki prirodan broj n koji nije zanimljiv. Ali upravo zato je zanimljiv. Kontradikcija.
QED