Neprekidnost funkcije - protuprimjer (zadatak)

[Kento]

Na demonstraturama ovaj tjedan pitali ste me za primjer neke funkcije koja nije neprekidna s obzirom na metrike i eklidsku metriku . U prilogu vam je dan primjer jedne takve funkcije.

Vidimo se na demonstraturama!
Kristijan

[Gost]

Imam samo jedno pitanje vezano za homeomorfizam
a)
Ako je f: ({1,2,3},T)->({1,2,3},V)
T={prazan skup, {1},{1,2,3}}
V={prazan skup, {2},{1,2,3}}
točno je da su ti prostori homeomorfni ili sam u krivu?

b) isto kao i
Ako je f: ({1,2,3},T)->({N},S)
T={prazan skup, {1},{1,2,3}}
S={prazan skup, {1},N}
točno je da su ti prostori homeomorfni?

[Loo]

1. Da, homeomorfizam je [tex]f:\{1,2,3\}\to\{1,2,3\},[/tex] [tex]f(1)=2, f(2)=1, f(3)=3[/tex].

2. Nisu jer ne postoji bijekcija [tex]f:\{1,2,3\}\to \mathbb{N}[/tex]. (prvi skup je konačan a drugi beskonačan)