|
Nije baš naročito prigodna tema za ovaj dan, ali da se
to ipak obavi unutar "stare" godine.
Znanje i razumijevanje pokazano na testu čini se prilično
problematično, odnosno zabrinjavajuće - ne toliko po prosjeku
broja bodova (malo manje od 6, oko 5.90 za smjer prof. matematike,
malo više od 6 za prof. matematike-fizike, za sve zajedno otprilike 6)
koji nije "katastrofalan". No, pobliže upoznavanje s načinom rješavanja
u velikom broju radova ukazuje na slabo snalaženje i nerazumijevanje
primjene činjenica iz linearne algebre u geometrijski najjasnijem
i najpoznatijem (barem bi tako moralo biti s obzirom na gradivo iz
nekoliko različitih kolegija) vektorskom prostoru - V^3 odnosno V^3(O).
Naglasak u gradivu za ovaj test bio je upravo u tome - svojstva dobro
poznatih geometrijskih preslikavanja kao linearnih operatora. Veliki
dio toga može se shvatiti i izračunati i bez naročitog znanja linearne algebre,
ali važno je razumijeti i znati primijeniti elementarnu linearnu algebru
prvenstveno na tom prostoru (inače nema puno koristi baviti se onim
"apstraktnijim" prostorima). Često se, međutim, nailazi na "šablonsko"
računanje po određenim postupcima, bez dobrog osjećaja što se
točno radi, pa kad se potkradu pogreške (slučajne-neznatne ili ključne)
one ostaju nezapažene, premda su često sasvim očigledne.
Nije tu problem u ponekom pogrešnom broju ili predznaku, no ako se
npr. za kompoziciju dvije (očite) bijekcije dobije defekt veći od 0 ili
ako se od početka koristi pogrešna formula, npr. pomiješa se zrcaljenje
s obzirom na pravac sa zrcaljenjem s obzirom na ravninu
(a jednostavna sličica s nekoliko "strelica" razjasnila bi stvar), nameće
se dojam kako se "postupak" provodi formalno ili "po sjećanju", bez
dovoljno razumijevanja.
Pitanje "mogu li se rang i defekt odrediti geometrijskim zaključivanjem,
bez računa i matričnog zapisa" velika većina jednostavno je ignorirala
(a to pitanje dio je zadatka iz domaće zadaće, kao i sva ostala), nekolicina
je napisala samo "može" ili "ne može" bez ikakvog objašnjenja, a najviše
petero pokazalo je da razumije o čemu se radi. Nije toliko problem
u tom jednom bodu koji se dobije ili ne dobije, nego bi to pitanje trebalo
potaknuti da se malo razmisli što se to računa, a mnogima bi pomoglo
da uoče pogrešku u računu (ako su dobili pogrešan rang ili defekt računom
u koordinatama).
Primjerice, ako imamo kompoziciju zrcaljenja (ili rotacije) i projekcije na pravac
(ortogonalne, nije bitan smjer) rang te kompozicije, u bilo kojem
redoslijedu, očito će biti 1, bez ikakvih koordinata.
Naime, ako najprije djeluje zrcaljenje, to je bijekcija koja će cijeli
prostor preslikati na sama sebe, a zatim se cijeli prostor projicira na pravac
(1-dim. potprostor) i slika kompozicije je taj pravac, rang je 1.
Obrnuto, ako se najprije prostor projicira na pravac, pa se zatim taj
pravac zrcali, slike je opet pravac, rang je 1.
Ili, kompozicija dva zrcaljenja jest bijekcija, kao kompozicija dvije bijekcije
i rang je 3, naravno.
Najizrazitiji primjer nepotrebnog kompliciranja u vrlo jednostavnom
zadatku, pritom kompliciranja koje je uglavnom završilo pogrešnim
(i očito "čudnim") rezultatom može se vidjeti u zadatku gdje je P
ortogonalni projektor čija slika je Im P = [[b] i[/b] - [b]k[/b], [b]j][/b] pa treba odrediti
sliku općeg vektora, P(x[b]i [/b]+ y [b]j[/b]+ z[b]k[/b]).
Vektori koji su u slici (a očito je to ortogonalna projekcija na 2-dim.
potprostor) preslikavaju se sami u sebe, a vektor smjera normale
(nakon kratkog ili gotovo nikakvog računanja to je smjer [b] i[/b] + [b] k[/b])
preslikava se u nulvektor.
Čim znamo slike vektora [b] i[/b] + [b] k[/b] i [b] i[/b] - [b] k[/b]
lako nalazimo (zbrajanjem i oduzimanjem) da je P([b]i[/b]) = 1/2 ([b]i-k[/b]),
P([b]k[/b]) = 1/2 ([b]-i + k[/b]) (što se "vidi i iz slike") i zadatak je praktički
riješen.
No, u većem broju radova, nakon što se ustanove osnovne činjenice
(u dva retka), prelazi se na traženje nepoznate matrice P reda 3
sa svojstvom P^2 = P, dakle matrice s 9 nepoznanica-koeficijenata
(ili 6, za one koji su se sjetili uvrstiti 0,1,0 u drugi stupac) što daje
sustav (nelinearnih) jednadžbi koji dovodi do izraza s drugim korijenima,
razmatranja više slučajeva itd, a redovito s pogrešnim ishodom.
Način sam po sebi nije pogrešan, ali je gotovo beznadno kompliciran
i guta vrijeme, bez ikakve potrebe. Istina ja da za projektor vrijedi
P^2 = P, ali to upravo znači da se svaki vektor u slici operatora
preslika sam u sebe. (Neslužbeno sam načuo da se na nekim
demonstraturama pokazivalo da se tako može raditi, ne znam je li
istina, no to nipošto ne znači da se [i]mora[/i] tako raditi ako je očito suvišno).
Sličnih kompliciranja bilo je još, npr. kad se za jedinični vektor
poznatog smjera koordinate traže pomoću jednadžbi, umjesto da
se taj vektor jednostavno normira,
U drukčijem stilu, bilo je puno zbunjenosti oko simetričnih i antisimetričnih
matrica (reda 4 konkretno, ali red nije previše važan). Trebalo je znati
kako izgledaju takve matrice i koje su dimenzije odgovarajućih potprostora
pa zaključiti da li među tim potprostorima postoji mono-, epi-, izomorfizam.
Onima koji su naučili LA1 nije bio nikakav problem napisati oblik
tih matrica, izračunati dimenzije potprostora (ili napisati opće formule za
dimenzije, n(n+1)/2 za simetrične, odnosno n(n-1)/2 za antisimerične)
i izvući potrebne zaključke. No, oni koji se ne sjećaju LA1...e, svašta se
može naći u tim testovima, od toga da se ne zna kako izgleda antisimetrična
matrica do vrlo pogrešnih dimenzija potprostora i besmislenih "primjera
monomorfizma". A zadatak se može riješiti u 2 minute (raspolaže li se
osnovnim predznanjem).
Moglo bi se još dosta toga nabrojiti, uključujući i porazno saznanje da neki ni
nakon položene LA1 nisu načistu s rješavanjem homogenog sustava od
2-3 jednadžbe s 3 nepoznanice (tipična "zabuna": ako se x ne pojavljuje,
znači da je x = 0 (?!); pa, ne, nego to znači da x može poprimiti bilo
koju vrijednost i onda, konkretno, u jezgri se nalazi vektor [b]i [/b],
a ne samo nulvektor, što je očito i iz samog teksta zadatka).
Završit ću s "poučnom" činjenicom kako u prostoru V^3 postoje i rotacije
oko osi koje [i]nisu[/i] koordinatne osi, dakle os rotacije nipošto ne mora biti
zadana jednim od smjerova vektora baze. Naime, mnogi prepoznaju rotaciju samo
ako su u jednom stupcu matrice jedna 1 i dvije 0. U konkretnom zadatku to je
moglo biti tako (uz suvišnu "provjeru" ostalih dvaju "kandidata" za os rotacije),
ali općenito smjer osi je okomit na ravninu u kojoj se nalaze (ne-fiksni) vektor
i njegova slika, Ako se [b]k [/b]preslika rotacijom u [b]i,[/b] smjer osi rotacije je nužno [b]j[/b],
ali zato što je to vektor okomit na oba vektora [b]k[/b], [b]i.[/b]
(Kad bi se [b]k[/b] preslikavao npr. u [b]i[/b]+[b]j[/b]+[b]k[/b], "provjera" sve tri koordinatne osi
ne bi dala os rotacije, naravno).
Eto čime se moram baviti na Staru godinu :)
Svima, a naročito onima koji su izdržali pročitati sve ovo, želim sretnu 2016.
i puno bodova.
Nije baš naročito prigodna tema za ovaj dan, ali da se
to ipak obavi unutar "stare" godine.
Znanje i razumijevanje pokazano na testu čini se prilično
problematično, odnosno zabrinjavajuće - ne toliko po prosjeku
broja bodova (malo manje od 6, oko 5.90 za smjer prof. matematike,
malo više od 6 za prof. matematike-fizike, za sve zajedno otprilike 6)
koji nije "katastrofalan". No, pobliže upoznavanje s načinom rješavanja
u velikom broju radova ukazuje na slabo snalaženje i nerazumijevanje
primjene činjenica iz linearne algebre u geometrijski najjasnijem
i najpoznatijem (barem bi tako moralo biti s obzirom na gradivo iz
nekoliko različitih kolegija) vektorskom prostoru - V^3 odnosno V^3(O).
Naglasak u gradivu za ovaj test bio je upravo u tome - svojstva dobro
poznatih geometrijskih preslikavanja kao linearnih operatora. Veliki
dio toga može se shvatiti i izračunati i bez naročitog znanja linearne algebre,
ali važno je razumijeti i znati primijeniti elementarnu linearnu algebru
prvenstveno na tom prostoru (inače nema puno koristi baviti se onim
"apstraktnijim" prostorima). Često se, međutim, nailazi na "šablonsko"
računanje po određenim postupcima, bez dobrog osjećaja što se
točno radi, pa kad se potkradu pogreške (slučajne-neznatne ili ključne)
one ostaju nezapažene, premda su često sasvim očigledne.
Nije tu problem u ponekom pogrešnom broju ili predznaku, no ako se
npr. za kompoziciju dvije (očite) bijekcije dobije defekt veći od 0 ili
ako se od početka koristi pogrešna formula, npr. pomiješa se zrcaljenje
s obzirom na pravac sa zrcaljenjem s obzirom na ravninu
(a jednostavna sličica s nekoliko "strelica" razjasnila bi stvar), nameće
se dojam kako se "postupak" provodi formalno ili "po sjećanju", bez
dovoljno razumijevanja.
Pitanje "mogu li se rang i defekt odrediti geometrijskim zaključivanjem,
bez računa i matričnog zapisa" velika većina jednostavno je ignorirala
(a to pitanje dio je zadatka iz domaće zadaće, kao i sva ostala), nekolicina
je napisala samo "može" ili "ne može" bez ikakvog objašnjenja, a najviše
petero pokazalo je da razumije o čemu se radi. Nije toliko problem
u tom jednom bodu koji se dobije ili ne dobije, nego bi to pitanje trebalo
potaknuti da se malo razmisli što se to računa, a mnogima bi pomoglo
da uoče pogrešku u računu (ako su dobili pogrešan rang ili defekt računom
u koordinatama).
Primjerice, ako imamo kompoziciju zrcaljenja (ili rotacije) i projekcije na pravac
(ortogonalne, nije bitan smjer) rang te kompozicije, u bilo kojem
redoslijedu, očito će biti 1, bez ikakvih koordinata.
Naime, ako najprije djeluje zrcaljenje, to je bijekcija koja će cijeli
prostor preslikati na sama sebe, a zatim se cijeli prostor projicira na pravac
(1-dim. potprostor) i slika kompozicije je taj pravac, rang je 1.
Obrnuto, ako se najprije prostor projicira na pravac, pa se zatim taj
pravac zrcali, slike je opet pravac, rang je 1.
Ili, kompozicija dva zrcaljenja jest bijekcija, kao kompozicija dvije bijekcije
i rang je 3, naravno.
Najizrazitiji primjer nepotrebnog kompliciranja u vrlo jednostavnom
zadatku, pritom kompliciranja koje je uglavnom završilo pogrešnim
(i očito "čudnim") rezultatom može se vidjeti u zadatku gdje je P
ortogonalni projektor čija slika je Im P = [ i - k, j] pa treba odrediti
sliku općeg vektora, P(xi + y j+ zk).
Vektori koji su u slici (a očito je to ortogonalna projekcija na 2-dim.
potprostor) preslikavaju se sami u sebe, a vektor smjera normale
(nakon kratkog ili gotovo nikakvog računanja to je smjer i + k)
preslikava se u nulvektor.
Čim znamo slike vektora i + k i i - k
lako nalazimo (zbrajanjem i oduzimanjem) da je P(i) = 1/2 (i-k),
P(k) = 1/2 (-i + k) (što se "vidi i iz slike") i zadatak je praktički
riješen.
No, u većem broju radova, nakon što se ustanove osnovne činjenice
(u dva retka), prelazi se na traženje nepoznate matrice P reda 3
sa svojstvom P^2 = P, dakle matrice s 9 nepoznanica-koeficijenata
(ili 6, za one koji su se sjetili uvrstiti 0,1,0 u drugi stupac) što daje
sustav (nelinearnih) jednadžbi koji dovodi do izraza s drugim korijenima,
razmatranja više slučajeva itd, a redovito s pogrešnim ishodom.
Način sam po sebi nije pogrešan, ali je gotovo beznadno kompliciran
i guta vrijeme, bez ikakve potrebe. Istina ja da za projektor vrijedi
P^2 = P, ali to upravo znači da se svaki vektor u slici operatora
preslika sam u sebe. (Neslužbeno sam načuo da se na nekim
demonstraturama pokazivalo da se tako može raditi, ne znam je li
istina, no to nipošto ne znači da se mora tako raditi ako je očito suvišno).
Sličnih kompliciranja bilo je još, npr. kad se za jedinični vektor
poznatog smjera koordinate traže pomoću jednadžbi, umjesto da
se taj vektor jednostavno normira,
U drukčijem stilu, bilo je puno zbunjenosti oko simetričnih i antisimetričnih
matrica (reda 4 konkretno, ali red nije previše važan). Trebalo je znati
kako izgledaju takve matrice i koje su dimenzije odgovarajućih potprostora
pa zaključiti da li među tim potprostorima postoji mono-, epi-, izomorfizam.
Onima koji su naučili LA1 nije bio nikakav problem napisati oblik
tih matrica, izračunati dimenzije potprostora (ili napisati opće formule za
dimenzije, n(n+1)/2 za simetrične, odnosno n(n-1)/2 za antisimerične)
i izvući potrebne zaključke. No, oni koji se ne sjećaju LA1...e, svašta se
može naći u tim testovima, od toga da se ne zna kako izgleda antisimetrična
matrica do vrlo pogrešnih dimenzija potprostora i besmislenih "primjera
monomorfizma". A zadatak se može riješiti u 2 minute (raspolaže li se
osnovnim predznanjem).
Moglo bi se još dosta toga nabrojiti, uključujući i porazno saznanje da neki ni
nakon položene LA1 nisu načistu s rješavanjem homogenog sustava od
2-3 jednadžbe s 3 nepoznanice (tipična "zabuna": ako se x ne pojavljuje,
znači da je x = 0 (?!); pa, ne, nego to znači da x može poprimiti bilo
koju vrijednost i onda, konkretno, u jezgri se nalazi vektor i ,
a ne samo nulvektor, što je očito i iz samog teksta zadatka).
Završit ću s "poučnom" činjenicom kako u prostoru V^3 postoje i rotacije
oko osi koje nisu koordinatne osi, dakle os rotacije nipošto ne mora biti
zadana jednim od smjerova vektora baze. Naime, mnogi prepoznaju rotaciju samo
ako su u jednom stupcu matrice jedna 1 i dvije 0. U konkretnom zadatku to je
moglo biti tako (uz suvišnu "provjeru" ostalih dvaju "kandidata" za os rotacije),
ali općenito smjer osi je okomit na ravninu u kojoj se nalaze (ne-fiksni) vektor
i njegova slika, Ako se k preslika rotacijom u i, smjer osi rotacije je nužno j,
ali zato što je to vektor okomit na oba vektora k, i.
(Kad bi se k preslikavao npr. u i+j+k, "provjera" sve tri koordinatne osi
ne bi dala os rotacije, naravno).
Eto čime se moram baviti na Staru godinu 
Svima, a naročito onima koji su izdržali pročitati sve ovo, želim sretnu 2016.
i puno bodova.
|
