|
Na 2. kolokviju bili su ovi zadaci kao 5. zadatak, u dvije grupe:
A.
Neka je V konačnodimenzionalni vektorski prostor i A:V--> V linearni operator.
Dokažite da je V izomorfan direktnoj sumi jezgre operatora A i jednog svog
potprostora koji je izomorfan sa slikom operatora A. Pokažite primjerom da V
općenito nije jednak direktnoj sumi jezgre i slike operatora A.
B.
Definirajte pojam sličnosti dviju kvadratnih matrica reda n nad poljem F.
Dokažite: ako su A, B iz M_4(R) dvije slične matrice, onda postoji linearni
operator na prostoru R^4 takav da su obje matrice A i B pridružene tom
operatoru (u nekim bazama).
Rješenja:
A.
Riječ je o tvrdnji iz koje proizlazi tvrdnja teorema o rangu i
defektu, u dokazu koji je izveden na predavanjima.
Ako je jezgra samo nulpotprostor, slika bilo koje baze
prostora V je baza slike, dakle prostora Im A te je V izomorfan
s Im A, odnosno jednak direktnoj sumi {0}+ Im A.
Ako jezgra ima dimenziju barem 1, neku njezinu bazu
nadopunimo do baze prostora V, a onda je potprostor M
dobiven kao linearna ljuska te dopune baze izomorfan
s Im A i vrijedi V = Ker A + M (direktna suma).
Za primjer da V ne mora biti jednak direktnoj sumi
jezgre i slike operatora možemo uzeti operator
kojem se jezgra i slika podudaraju, npr. već
u dimenziji 2; neka je A(e1) = 0, A(e2) = e1.
Tada je Ker A = Im A = [e1].
B.
Definicija sličnosti matrica dobro je poznata.
Za postojanje lin. operatora kojem su pridružene
dvije slične matrice A i B treba najprije nekako
definirati operator. Uzmemo bilo koju bazu (a)
prostora i definiramo djelovanje operatora na njoj
onako kako čitamo iz matrice A
(u stupcima su koeficijenti slika vektora te baze
prikazanih također u bazu (a)).
Budući da su A i B slične, postoji matrica T
takva da je B = T^(-1) A B pa tu matricu
treba shvatiti kao matricu prijelaza iz izabrane
baze u drugu bazu (b) (koju čitamo iz stupaca matrice T,
kao prikaz tih vektora u bazi (a)).
Naravno, tada su A i B pridružene zadanom operatoru
u bazama (a) i (b), redom.
Ovo vrijedi za bilo koji red kvadratnih matrica, stavljeno
je 4 samo da bude lakše pisati ako se netko "upusti"
u eksplicitno ispisivanje.
Na 2. kolokviju bili su ovi zadaci kao 5. zadatak, u dvije grupe:
A.
Neka je V konačnodimenzionalni vektorski prostor i A:V→ V linearni operator.
Dokažite da je V izomorfan direktnoj sumi jezgre operatora A i jednog svog
potprostora koji je izomorfan sa slikom operatora A. Pokažite primjerom da V
općenito nije jednak direktnoj sumi jezgre i slike operatora A.
B.
Definirajte pojam sličnosti dviju kvadratnih matrica reda n nad poljem F.
Dokažite: ako su A, B iz M_4(R) dvije slične matrice, onda postoji linearni
operator na prostoru R^4 takav da su obje matrice A i B pridružene tom
operatoru (u nekim bazama).
Rješenja:
A.
Riječ je o tvrdnji iz koje proizlazi tvrdnja teorema o rangu i
defektu, u dokazu koji je izveden na predavanjima.
Ako je jezgra samo nulpotprostor, slika bilo koje baze
prostora V je baza slike, dakle prostora Im A te je V izomorfan
s Im A, odnosno jednak direktnoj sumi {0}+ Im A.
Ako jezgra ima dimenziju barem 1, neku njezinu bazu
nadopunimo do baze prostora V, a onda je potprostor M
dobiven kao linearna ljuska te dopune baze izomorfan
s Im A i vrijedi V = Ker A + M (direktna suma).
Za primjer da V ne mora biti jednak direktnoj sumi
jezgre i slike operatora možemo uzeti operator
kojem se jezgra i slika podudaraju, npr. već
u dimenziji 2; neka je A(e1) = 0, A(e2) = e1.
Tada je Ker A = Im A = [e1].
B.
Definicija sličnosti matrica dobro je poznata.
Za postojanje lin. operatora kojem su pridružene
dvije slične matrice A i B treba najprije nekako
definirati operator. Uzmemo bilo koju bazu (a)
prostora i definiramo djelovanje operatora na njoj
onako kako čitamo iz matrice A
(u stupcima su koeficijenti slika vektora te baze
prikazanih također u bazu (a)).
Budući da su A i B slične, postoji matrica T
takva da je B = T^(-1) A B pa tu matricu
treba shvatiti kao matricu prijelaza iz izabrane
baze u drugu bazu (b) (koju čitamo iz stupaca matrice T,
kao prikaz tih vektora u bazi (a)).
Naravno, tada su A i B pridružene zadanom operatoru
u bazama (a) i (b), redom.
Ovo vrijedi za bilo koji red kvadratnih matrica, stavljeno
je 4 samo da bude lakše pisati ako se netko "upusti"
u eksplicitno ispisivanje.
|
