|
Zadatak 5.
Definirajte sljedeće pojmove (samo točne definicije, bez svojstava, teorema itd):
(i) Ortonormirana baza unitarnog prostora;
(ii) Geometrijska kratnost svojstvene vrijednosti linearnog operatora;
(iii) Dualna baza neke baze (e) vektorskog prostora;
(iv) Konačnodimenzionalni vektorski prostor, dimenzija konačno-dimenzionalnog vektorskog prostora;
(v) Karakteristični polinom linearnog operatora na konačnodimenzionalnom vektorskom prostoru.
Zadatak 6.
(a) Neka je V unitarni prostor i L njegov potprostor.
Definirajte ortogonalnu
projekciju vektora x iz V na potprostor L.
Pretpostavimo da je a takav vektor
da za normu njegove ortogonalne projekcije a' na L
vrijedi ‖a'‖ ≤ 5/2, a za
normu njegove ortogonalne projekcije a'' na Lᚆ vrijedi ‖a''‖ ≤ 3/2.
Kolika može
biti najveća vrijednost ‖a‖ ? Obrazložite.
(b) Neka je (e) baza vektorskog prostora V, a (f) baza prostora W
(V I W su nad
istim poljem F) te S, T: V--->W linearni operatori.
Dokažite: Ako su A i B matrični
prikazi operatora S i T u paru baza (e) i (f), redom, onda je
operatoru S – T u
istom paru baza pridružena matrica A – B.
Nadalje, dokažite da ako za rang
matrice A – B vrijedi r(A-B) < dim V, onda postoji
vektor x iz V, x ≠ 0, takav da
je S(x) = T(x).
Rješenje drugog dijela 6. (a) zadatka:
Budući da su a' i a'' ortogonalni vektori, kvadrat norme zbroja
jednak je zbroju kvadrata pojedinih normi (Pitagora) pa je
‖a‖ ^2 ≤ 25/4 + 9/4 = 17/2, dakle ‖a‖ ≤ sqrt(17/2).
Ako se primijeni samo nejednakost trokuta dobiva se gornja međa 4,
koja nije dostižna u ovom slučaju.
Rješenje 2. dijela 6.(b) zadatka:
Budući da je r(A-B) < n, operator S-T nije punog ranga pa u jezgri
Ker(S-T) postoji nenul vektor x i onda je (S-T)x = 0, tj. S(x) = T(x).
Zadatak 5.
Definirajte sljedeće pojmove (samo točne definicije, bez svojstava, teorema itd):
(i) Ortonormirana baza unitarnog prostora;
(ii) Geometrijska kratnost svojstvene vrijednosti linearnog operatora;
(iii) Dualna baza neke baze (e) vektorskog prostora;
(iv) Konačnodimenzionalni vektorski prostor, dimenzija konačno-dimenzionalnog vektorskog prostora;
(v) Karakteristični polinom linearnog operatora na konačnodimenzionalnom vektorskom prostoru.
Zadatak 6.
(a) Neka je V unitarni prostor i L njegov potprostor.
Definirajte ortogonalnu
projekciju vektora x iz V na potprostor L.
Pretpostavimo da je a takav vektor
da za normu njegove ortogonalne projekcije a' na L
vrijedi ‖a'‖ ≤ 5/2, a za
normu njegove ortogonalne projekcije a'' na Lᚆ vrijedi ‖a''‖ ≤ 3/2.
Kolika može
biti najveća vrijednost ‖a‖ ? Obrazložite.
(b) Neka je (e) baza vektorskog prostora V, a (f) baza prostora W
(V I W su nad
istim poljem F) te S, T: V--->W linearni operatori.
Dokažite: Ako su A i B matrični
prikazi operatora S i T u paru baza (e) i (f), redom, onda je
operatoru S – T u
istom paru baza pridružena matrica A – B.
Nadalje, dokažite da ako za rang
matrice A – B vrijedi r(A-B) < dim V, onda postoji
vektor x iz V, x ≠ 0, takav da
je S(x) = T(x).
Rješenje drugog dijela 6. (a) zadatka:
Budući da su a' i a'' ortogonalni vektori, kvadrat norme zbroja
jednak je zbroju kvadrata pojedinih normi (Pitagora) pa je
‖a‖ ^2 ≤ 25/4 + 9/4 = 17/2, dakle ‖a‖ ≤ sqrt(17/2).
Ako se primijeni samo nejednakost trokuta dobiva se gornja međa 4,
koja nije dostižna u ovom slučaju.
Rješenje 2. dijela 6.(b) zadatka:
Budući da je r(A-B) < n, operator S-T nije punog ranga pa u jezgri
Ker(S-T) postoji nenul vektor x i onda je (S-T)x = 0, tj. S(x) = T(x).
|
