|
Zadaci s popravnog kolokvija
Zadatak 1. (15 bodova)
Neka je G ⊂ M3(R) skup svih regularnih gornjetrokutastih realnih matrica reda 3.
Ispitajte je li G grupa s obzirom na množenje matrica.
Zadatak 2. (15 bodova)
Zadana su tri potprostora vektorskog prostora R4 :
L = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + 2x2 = 0},
M = {(x1, x2, x3, x4) : 2x2 + 3x3 = 0, x1 + 4x4 = 0},
N = [ {(x1, x2, x3, x4) : x1 + 2x2 = 1, x4 = -1 } ].
Odredite dimenzije potprostora L+(M ∩N), (L + M) ∩ N i (L ∩ M) +N
te ispitajte je li koji od njih sadržan u nekom od ostala dva.
Zadatak 3. (15 bodova)
Riješite sustav linearnih jednadžbi:
5 x1 + x2 + x3 + 3 x4 = 0
4 x1 + 2x3 +3 x4 = 1
-7x1 + x2 - x3 + 4 x4 = 5
Postoji li rješenje u kojem vrijednosti svih nepoznanica imaju jednaki predznak,
bilo pozitivan ili negativan?
iMože li se ovom sustavu dodati još jedna jednadžba tako
da dobiveni sustav bude Cramerov?
Obrazložite, a u slučaju potvrdnog odgovora navedite primjer.
Zadatak 4. (20 bodova)
Zadana je matrica C =
213 186 162 137
344 157 295 106
419 418 419 418
417 416 417 416
(1) Je li C regularna? Obrazložite.
(2) Je li matrica C^t C simetrična? (3) Izračunajte det (C^2) .
(4) Ako postoji matrica C^(-1) izračunajte njezin koeficijent na poziciji (3,4).
Zadatak 5. (20 bodova)
(a) Riješite sustav linearnih jednadžbi u ovisnosti o realnom parametru λ:
x1 + x2 + λ x3 = 3,
x1 + λ x2 + x3 = 0,
λ x1 + x2 + x3 = 0.
(b) Dokažite tvrdnju: Ako se matrica sustava u (a) ne mijenja, za svaki izbor slobodnih
koeficijenata postoji beskonačno mnogo vrijednosti λ takvih da sustav bude Cramerov.
Zadatak 6. (15 bodova)
Dokažite (detaljno) tvrdnju: svaki linearno nezavisni podskup
konačnodimenzionalnog vektorskog prostora sadržan je
u nekoj bazi tog prostora.
Zadaci s popravnog kolokvija
Zadatak 1. (15 bodova)
Neka je G ⊂ M3(R) skup svih regularnih gornjetrokutastih realnih matrica reda 3.
Ispitajte je li G grupa s obzirom na množenje matrica.
Zadatak 2. (15 bodova)
Zadana su tri potprostora vektorskog prostora R4 :
L = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + 2x2 = 0},
M = {(x1, x2, x3, x4) : 2x2 + 3x3 = 0, x1 + 4x4 = 0},
N = [ {(x1, x2, x3, x4) : x1 + 2x2 = 1, x4 = -1 } ].
Odredite dimenzije potprostora L+(M ∩N), (L + M) ∩ N i (L ∩ M) +N
te ispitajte je li koji od njih sadržan u nekom od ostala dva.
Zadatak 3. (15 bodova)
Riješite sustav linearnih jednadžbi:
5 x1 + x2 + x3 + 3 x4 = 0
4 x1 + 2x3 +3 x4 = 1
-7x1 + x2 - x3 + 4 x4 = 5
Postoji li rješenje u kojem vrijednosti svih nepoznanica imaju jednaki predznak,
bilo pozitivan ili negativan?
iMože li se ovom sustavu dodati još jedna jednadžba tako
da dobiveni sustav bude Cramerov?
Obrazložite, a u slučaju potvrdnog odgovora navedite primjer.
Zadatak 4. (20 bodova)
Zadana je matrica C =
213 186 162 137
344 157 295 106
419 418 419 418
417 416 417 416
(1) Je li C regularna? Obrazložite.
(2) Je li matrica C^t C simetrična? (3) Izračunajte det (C^2) .
(4) Ako postoji matrica C^(-1) izračunajte njezin koeficijent na poziciji (3,4).
Zadatak 5. (20 bodova)
(a) Riješite sustav linearnih jednadžbi u ovisnosti o realnom parametru λ:
x1 + x2 + λ x3 = 3,
x1 + λ x2 + x3 = 0,
λ x1 + x2 + x3 = 0.
(b) Dokažite tvrdnju: Ako se matrica sustava u (a) ne mijenja, za svaki izbor slobodnih
koeficijenata postoji beskonačno mnogo vrijednosti λ takvih da sustav bude Cramerov.
Zadatak 6. (15 bodova)
Dokažite (detaljno) tvrdnju: svaki linearno nezavisni podskup
konačnodimenzionalnog vektorskog prostora sadržan je
u nekoj bazi tog prostora.
|
