|
Nekoliko zadataka za vježbu, uglavnom za primjenu analitičke
metode u projektivnoj ravnini PG(2,R).
1. Provjerite da su točke A(1,2,3), B(2,5,-6), C(6,-7,2) i
D(4,4,-1) vrhovi potpunog četverovrha. Izaberite predstavnike
koordinata tih točaka tako da bude:
(a) A + B + C + D = 0
(b) D = A + B + C
Odredite jednadžbe svih stranica tog potpunog četverovrha.
Izračunajte dijagonalne točke tog četverovrha. (Dijagonalne točke su
sjecišta parova suprotnih stranica, dakle AB x CD itd).
2. Pokažite da pravci [1,2,3], [4,3,-1] i [3,-5,4] tvore trostran. Odredite
jednadžbe pravaca koji spajaju vrhve tog trostrana s točkom (1,1,1).
3. Neka su ABC i A'B'C' dva trovrha u projektivnoj ravnini. Trovrsi su
centralno perspektivni ako su spojnice tri para odgovarajućih vrhova
konkurentni (kopunktalni) pravci. Osim pridruživanja vrhova tako da
su redom pridruženi A i A', B i B' te C i C' može se za drugi trovrh
odabrati, cikličkim pomakom, poredak vhova B'C'A' ili C'A'B'.
Na taj način dolaze u obzir
tri relacije centralne perspektivnosti ovih tvrovrha. Dokažite: ako su
zadani trovrsi centralno perspektivni na bilo koja dva od ta tri načina,
onda su perspektivni i na treći način.
4. Nastavak na 3. zadatak: Zapravo se vrhovi trovrha A'B'C' mogu
poredati na ukupno 6 načina. Mogu li trovrsi ABC i A'B'C' biti
centralno perspektivni na svih 6 načina? U slučaju potvrdnog
odgovora navedite primjer takva dva trovrha (koordinatno). Kako
bi glasila tvrdnja oblika: ako su trovrsi perspektivni na barem (?)
načina, onda su perspektivni na svih 6 načina?
(U ovoim zadacima pretpostavljamo da je riječ o 6 različitih točaka
kao vrhovima dva trovrha).
Nekoliko zadataka za vježbu, uglavnom za primjenu analitičke
metode u projektivnoj ravnini PG(2,R).
1. Provjerite da su točke A(1,2,3), B(2,5,-6), C(6,-7,2) i
D(4,4,-1) vrhovi potpunog četverovrha. Izaberite predstavnike
koordinata tih točaka tako da bude:
(a) A + B + C + D = 0
(b) D = A + B + C
Odredite jednadžbe svih stranica tog potpunog četverovrha.
Izračunajte dijagonalne točke tog četverovrha. (Dijagonalne točke su
sjecišta parova suprotnih stranica, dakle AB x CD itd).
2. Pokažite da pravci [1,2,3], [4,3,-1] i [3,-5,4] tvore trostran. Odredite
jednadžbe pravaca koji spajaju vrhve tog trostrana s točkom (1,1,1).
3. Neka su ABC i A'B'C' dva trovrha u projektivnoj ravnini. Trovrsi su
centralno perspektivni ako su spojnice tri para odgovarajućih vrhova
konkurentni (kopunktalni) pravci. Osim pridruživanja vrhova tako da
su redom pridruženi A i A', B i B' te C i C' može se za drugi trovrh
odabrati, cikličkim pomakom, poredak vhova B'C'A' ili C'A'B'.
Na taj način dolaze u obzir
tri relacije centralne perspektivnosti ovih tvrovrha. Dokažite: ako su
zadani trovrsi centralno perspektivni na bilo koja dva od ta tri načina,
onda su perspektivni i na treći način.
4. Nastavak na 3. zadatak: Zapravo se vrhovi trovrha A'B'C' mogu
poredati na ukupno 6 načina. Mogu li trovrsi ABC i A'B'C' biti
centralno perspektivni na svih 6 načina? U slučaju potvrdnog
odgovora navedite primjer takva dva trovrha (koordinatno). Kako
bi glasila tvrdnja oblika: ako su trovrsi perspektivni na barem (?)
načina, onda su perspektivni na svih 6 načina?
(U ovoim zadacima pretpostavljamo da je riječ o 6 različitih točaka
kao vrhovima dva trovrha).
|
