|
Neki zadaci o potpunom četverovrhu i harmoničkim četvorkama
1. Zadane su kolinearne točke A(1,2,3), B(2,4,3) i C(1,2,-2).
Odredite točke M i N tako da vrijedi: H(A,B;C,M) i H(A,C;B,N).
(Uputa: Iskoristite mogućnosti pojednostavljenja kao u 1. zadatku
iz prethodne skupine te rješenje zadatka s predavanja).
2. Neka su P, Q i R dijagonalne točke jednog potpunog četverovrha.
Dokažite da šest stranica
tog potpunog četverovrha sijeku stranice trovrha PQR
u šest vrhova jednog potpunog četverostrana.
3. Zadan je potpuni četverovrh ABCD, čije su dijagonalne točke
K, L i M redom sjecišta parova stranica AB i CD, AC i BD te
AD i BC. Neka su X, Y i Z točke takve da vrijedi H(D,C;K,X),
H(A,C;L,Y) i H(A,D;M,Z). Dokažite da su X, Y i Z kolinearne.
Nadalje, dokažite da su pravci AB, DY i CZ konkurentni, a da
za njihovo sjecište, označimo ga S, vrijedi H(A,K;B,S).
(Napomena: zadatak se može riješiti i sintetički i analitički.
Korisno je riješiti ga na oba načina).
Neki zadaci o potpunom četverovrhu i harmoničkim četvorkama
1. Zadane su kolinearne točke A(1,2,3), B(2,4,3) i C(1,2,-2).
Odredite točke M i N tako da vrijedi: H(A,B;C,M) i H(A,C;B,N).
(Uputa: Iskoristite mogućnosti pojednostavljenja kao u 1. zadatku
iz prethodne skupine te rješenje zadatka s predavanja).
2. Neka su P, Q i R dijagonalne točke jednog potpunog četverovrha.
Dokažite da šest stranica
tog potpunog četverovrha sijeku stranice trovrha PQR
u šest vrhova jednog potpunog četverostrana.
3. Zadan je potpuni četverovrh ABCD, čije su dijagonalne točke
K, L i M redom sjecišta parova stranica AB i CD, AC i BD te
AD i BC. Neka su X, Y i Z točke takve da vrijedi H(D,C;K,X),
H(A,C;L,Y) i H(A,D;M,Z). Dokažite da su X, Y i Z kolinearne.
Nadalje, dokažite da su pravci AB, DY i CZ konkurentni, a da
za njihovo sjecište, označimo ga S, vrijedi H(A,K;B,S).
(Napomena: zadatak se može riješiti i sintetički i analitički.
Korisno je riješiti ga na oba načina).
|
