|
Neki zadaci o projektivitetima
U ovim zadacima pretpostavlja se da u projektivnoj ravnini vrijedi Temeljni teorem o
projektivitetima, tj. uzima se PG(1,R) ako se radi koordinatno.
1. Neka su A, B, C kolinearne točke. Konstruirajte projektivitete koji A, B, C preslikavaju
redom u sve permutacije te trojke točaka.
(Treba konstruirati sliku opće točke tog pravca u svakom pojedinom
projektivitetu).
2. Napišite jednadžbe svih projektiviteta iz 1. zadatka, u homogenom i
nehomogenom obliku, ako se za A, B, C uzmu osnovne točke (1,0),
(0,1) i (1,1).
3. Projektivitet na pravcu, različit od identičkog, naziva se hiperboličkim,
paraboličkim ili eliptičkim prema tome ima li dvije fiksne točke, jednu
ili nijednu fiksnu točku, redom. Razvrstajte projektivitete iz 1. odnosno
2. zadatka po tom kriteriju.
4. Odredite opći oblik svih involutornih projektiviteta na pravcu. Ispitajte
kakvi mogu biti involutorni projektiviteti s obzirom na tipove iz 2. zadatka.
Povežite hiperboličke involutorne projektivitete s relacijom
harmoniteta među četiri točke na pravcu.
5. Neka su F i G dvije točke na pravcu. Dokažite da svi hiperbolički
projektiviteti, zajedno s identičkim, koji fiksiraju točke F i G čine grupu.
Uzmemo li realni projektivni pravac, dokažite da za svaki hiperbolički
projektivitet s fiksnim točkama F i G postoji realni broj k takav da za
bilo koju nefiksnu točku X i njezinu sliku X’ vrijedi R(F,G;X,X’) = k.
6. Interpretirajte dobivene rezultate u afinoj geometriji, tj. na afinom pravcu.
Posebno, interpretirajte 4. zadatak za afini pravac.
Odredite afinu grupu realnog pravca na temelju prethodnih zadataka.
(Afino preslikavanje inducirano je projektivitetom koji fiksira “neizmjerno
daleku točku”).
7. Neka su A,B,C,D kolinearne točke. Za koje sve permutacije te četvorke
postoji projektivitet na pravcu koji na A,B,C,D djeluje kao ta permutacija?
Neki zadaci o projektivitetima
U ovim zadacima pretpostavlja se da u projektivnoj ravnini vrijedi Temeljni teorem o
projektivitetima, tj. uzima se PG(1,R) ako se radi koordinatno.
1. Neka su A, B, C kolinearne točke. Konstruirajte projektivitete koji A, B, C preslikavaju
redom u sve permutacije te trojke točaka.
(Treba konstruirati sliku opće točke tog pravca u svakom pojedinom
projektivitetu).
2. Napišite jednadžbe svih projektiviteta iz 1. zadatka, u homogenom i
nehomogenom obliku, ako se za A, B, C uzmu osnovne točke (1,0),
(0,1) i (1,1).
3. Projektivitet na pravcu, različit od identičkog, naziva se hiperboličkim,
paraboličkim ili eliptičkim prema tome ima li dvije fiksne točke, jednu
ili nijednu fiksnu točku, redom. Razvrstajte projektivitete iz 1. odnosno
2. zadatka po tom kriteriju.
4. Odredite opći oblik svih involutornih projektiviteta na pravcu. Ispitajte
kakvi mogu biti involutorni projektiviteti s obzirom na tipove iz 2. zadatka.
Povežite hiperboličke involutorne projektivitete s relacijom
harmoniteta među četiri točke na pravcu.
5. Neka su F i G dvije točke na pravcu. Dokažite da svi hiperbolički
projektiviteti, zajedno s identičkim, koji fiksiraju točke F i G čine grupu.
Uzmemo li realni projektivni pravac, dokažite da za svaki hiperbolički
projektivitet s fiksnim točkama F i G postoji realni broj k takav da za
bilo koju nefiksnu točku X i njezinu sliku X’ vrijedi R(F,G;X,X’) = k.
6. Interpretirajte dobivene rezultate u afinoj geometriji, tj. na afinom pravcu.
Posebno, interpretirajte 4. zadatak za afini pravac.
Odredite afinu grupu realnog pravca na temelju prethodnih zadataka.
(Afino preslikavanje inducirano je projektivitetom koji fiksira “neizmjerno
daleku točku”).
7. Neka su A,B,C,D kolinearne točke. Za koje sve permutacije te četvorke
postoji projektivitet na pravcu koji na A,B,C,D djeluje kao ta permutacija?
|
