|
Na jučerašnjem predavanju (12. siječnja) nije bila potpuno
dokazana tvrdnja o postojanju osi projektiviteta, u slučaju
(netrivijalnom) kada taj projektivitet nije perspektivitet.
Evo jedne mogućnosti dokaza (detaljno).
Uzet ću jednake oznake kao na predavanju.
Tvrdnja: Neka je zadan projektivitet s pravca p na pravac p'
koji točke A,B,C,... preslikava redom u točke A',B',C',... .
Tada sva sjecišta pravaca XY' i X'Y, za bilo koje točke X,Y na p
i njihove slike X', Y' u tom projektivitetu pripadaju jednom
pravcu (koji se onda naziva [i]os projektiviteta[/i]).
(Tvrdnja se ponegdje u literaturi slikovito naziva
"criss-cross" teoremom za projektivitete, iz očitog razloga).
Dokaz: Neka je sjecište pravaca p i p' točka S. Uzmemo li
da projektivitet nije perspektivitet, točka S ne preslikava se
sama u sebe nego ima svoju prasliku S_0 na p i svoju sliku
S' na p'.
Pokazat ćemo da za sve točke A,B (različite od S0 i S)
sjecišta AB' i A'B pripadaju spojnici točaka S0 i S'.
Projektivitet je jednoznačno određen slikama S, S' i A'
točaka S0, S i A. Za bilo koju daljnju točku B na pravcu p
i njezinu sliku B' na p' vrijedi jednakost dvoomjera:
R(S0,S;A,B) = R(S,S';A',B').
Kad točke ovih kolinearnih četvorki spojimo s bilo kojim
točkama izvan p, odnosno izvan p', dobivamo četvorke
pravaca jednakih dvoomjera, recimo
R(MS0,MS;MA,MB) = R(NS,NS';NA',NB'),
za bilo koju točku M izvan p i bilo koju točku N izvan p'.
To povlači da u (jednoznačno određenom) projektivitetu
pramena pravaca kroz M i pramena pravaca kroz N, koji
redom preslikava MS0,MS i MA u NS,NS' i NA', pravac MB
preslikava se u pravac NB'.
Sad uzmimo posebni izbor za točke M i N.
Ulogu M neka ima A', a ulogu N neka ima A.
(To je korektno jer je A različita od S, sjecišta p i p').
Imamo jednakost dvoomjera:
R(A'S0,A'S;A'A,A'B) = R(AS,AS';AA',AB'),
koja se sad odnosi na pravce iz pramena kroz A' i pravce
iz pramena kroz A. Imamo projektivitet između tih
pramenova u kojem se pravac A'A (spojnica vrhova pramenova)
preslikava sam u sebe. Po dualu Teorema o perspektivitetu,
ovaj projektivitet pramenova pravaca je perspektivitet, što
znači da sva sjecišta pridruženih pravaca leže na jednom pravcu.
Pogledajmo koja su to sjecišta:
A'S0 i AS - sjecište je S0
A'S i AS' - sjecište je S'
A'B i AB' - to je točka koja onda pripada pravcu kroz S0 i S',
neovisno o tome koja je uzeta točka B na p, različita od S0, S i A.
Time je tvrdnja dokazana.
Os projektiviteta ujedno je i Pappusov pravac za bilo koje tri
točke na p i njihove slike na p'.
Na kraju, još jedna pohvala svima koji su opravdano
primijetili da dokaz nije bio potpun.
Na jučerašnjem predavanju (12. siječnja) nije bila potpuno
dokazana tvrdnja o postojanju osi projektiviteta, u slučaju
(netrivijalnom) kada taj projektivitet nije perspektivitet.
Evo jedne mogućnosti dokaza (detaljno).
Uzet ću jednake oznake kao na predavanju.
Tvrdnja: Neka je zadan projektivitet s pravca p na pravac p'
koji točke A,B,C,... preslikava redom u točke A',B',C',... .
Tada sva sjecišta pravaca XY' i X'Y, za bilo koje točke X,Y na p
i njihove slike X', Y' u tom projektivitetu pripadaju jednom
pravcu (koji se onda naziva os projektiviteta).
(Tvrdnja se ponegdje u literaturi slikovito naziva
"criss-cross" teoremom za projektivitete, iz očitog razloga).
Dokaz: Neka je sjecište pravaca p i p' točka S. Uzmemo li
da projektivitet nije perspektivitet, točka S ne preslikava se
sama u sebe nego ima svoju prasliku S_0 na p i svoju sliku
S' na p'.
Pokazat ćemo da za sve točke A,B (različite od S0 i S)
sjecišta AB' i A'B pripadaju spojnici točaka S0 i S'.
Projektivitet je jednoznačno određen slikama S, S' i A'
točaka S0, S i A. Za bilo koju daljnju točku B na pravcu p
i njezinu sliku B' na p' vrijedi jednakost dvoomjera:
R(S0,S;A,B) = R(S,S';A',B').
Kad točke ovih kolinearnih četvorki spojimo s bilo kojim
točkama izvan p, odnosno izvan p', dobivamo četvorke
pravaca jednakih dvoomjera, recimo
R(MS0,MS;MA,MB) = R(NS,NS';NA',NB'),
za bilo koju točku M izvan p i bilo koju točku N izvan p'.
To povlači da u (jednoznačno određenom) projektivitetu
pramena pravaca kroz M i pramena pravaca kroz N, koji
redom preslikava MS0,MS i MA u NS,NS' i NA', pravac MB
preslikava se u pravac NB'.
Sad uzmimo posebni izbor za točke M i N.
Ulogu M neka ima A', a ulogu N neka ima A.
(To je korektno jer je A različita od S, sjecišta p i p').
Imamo jednakost dvoomjera:
R(A'S0,A'S;A'A,A'B) = R(AS,AS';AA',AB'),
koja se sad odnosi na pravce iz pramena kroz A' i pravce
iz pramena kroz A. Imamo projektivitet između tih
pramenova u kojem se pravac A'A (spojnica vrhova pramenova)
preslikava sam u sebe. Po dualu Teorema o perspektivitetu,
ovaj projektivitet pramenova pravaca je perspektivitet, što
znači da sva sjecišta pridruženih pravaca leže na jednom pravcu.
Pogledajmo koja su to sjecišta:
A'S0 i AS - sjecište je S0
A'S i AS' - sjecište je S'
A'B i AB' - to je točka koja onda pripada pravcu kroz S0 i S',
neovisno o tome koja je uzeta točka B na p, različita od S0, S i A.
Time je tvrdnja dokazana.
Os projektiviteta ujedno je i Pappusov pravac za bilo koje tri
točke na p i njihove slike na p'.
Na kraju, još jedna pohvala svima koji su opravdano
primijetili da dokaz nije bio potpun.
|
