|
Evo nove skupine zadataka za vježbu.
Ovaj tekst bit će podijeljen na sljedećem predavanju,
a ovdje objavljujem kako bi što prije bio dostupan.
"Projektivitet" ukratko znači projektivitet između skupova točaka
na dva pravca (mogu biti i [i]kolokalni [/i]skupovi točaka - na istom
pravcu) ili, dualno, između dva pramena pravaca (opet, moguće
je da vrh oba pramena bude ista točka).
Improvizirana oznaka A,B,C -^- A',B',C' znači projektivitet određen
navedenim točkama.
"Kolineacija" ukratko znači kolineacija projektivne ravnine, dakle
bijekcija točaka na točke i pravaca na pravce koja čuva incidenciju.
U pravilu se podrazumijeva da se sve radi u Pappusovoj ravnini
odnosno da se, u analitičkom pristupu, može razmatrati ravnina
PG(2, [b]R[/b]) (dakle da se za polje posebno uzme polje realnih brojeva).
"Involucija" je involutorni projektivitet, odnosno involutorna kolineacija
(bijekcija je involutorna ako je jednaka svojoj inverznoj bijekciji).
Oznaka (AB) kod projektiviteta ili kolineacije znači da se A i B
preslikavaju uzajmno.
Zadaci:
1. Ako u projektivitetu na pravcu postoje različite točke A i B tako
da vrijedi (AB), taj projektivitet je involucija. Dokažite to analitički
(lagano). Važno je uočiti da već postojanje jednog para točaka
koji se "preslikava involutorno" implicira da je projektivitet involutoran.
Dokaz je moguć i sintetički, no treba konstruirati projektivitet
takav da za spomenute A i B te za bilo koju daljnju točku X i njezinu
sliku X' vrijedi A,B,X,X' -^- B,A,X',X. To zahtijeva dosjetke.
2. Svaki projektivitet na pravcu može se prikazati kao kompozicija neke
dvije involucije. Pokušajte analitički. (Važno je uzeti u obzir
karakteristični oblik involutornog projektiviteta u koordinatama na pravcu).
Provjerite da se bez koordinata može ovako:
Neka je zadan A,B,C -^- A',B',C'.
Uzmimo najprije involuciju (AB')(BA') i neka je D slika točke C
u toj involuciji. Kako zadati drugu involuciju da bi kompozicija s
navedenom (kao prvom u kompoziciji) dala upravo zadani projektivitet?
3. Presječnu šestorku potpunog četverovrha nekim pravcem čine tri para
točaka jedne involucije na tom pravcu. (U istom paru su sjecišta s
parom suprotnih stranica četverovrha). Dokažite to. Analitički ima nešto
posla, ali ide glatko.
Zadatak je važan, kao dio zasebni dio teorema koji će se naučiti kasnije.
Ideja za elegantan sintetički dokaz:
Neka je PQRS zadani četverovrh i neka pravac z (koji ne prolazi nijednim
od vrhova, premda općenito to nije isključeno) siječe stranice ovako:
RS u A, PQ u A';
QR u B, PS u B';
PR u C, QS u C'.
Na točke pravca z najprije se primijeni perspektivitet iz centra S na pravac PQ,
a zatim se iz centra R projicira PQ natrag na pravac z.
Odredite što su u dobivenom projektivitetu slike točaka A, A', B' i C'.
Kad to ustanovite, primijenite da za bilo koje točke XYZW na nekom pravcu
postoji projektivitet XYZW -^- YXWZ. (Zašto?)
Ukupno se dobiva tražena tvrdnja. Provjerite.
4. U involuciji (AA')(BB') na pravcu neke točke F i G čine pridruženi par
ako i samo ako postoji (hiperbolički) projektivitet: FGAB' -^- FGBA'.
Sad "izlazimo" u ravninu. Promatraju se [i]centralne kolineacije[/i] (a znamo
teorem da je kolineacija centralna ako i samo ako je osna,
tj. da ima pramen fiksnih pravaca ako i samo ako ima fiksni pravac na
kojem je svaka točka fiksna). Centralne kolineacije dijele se na [i]homologije[/i]
(centar je izvan osi) i [i]elacije[/i] (centar je na osi).
Identiteta se po definiciji smatra i homologijom i elacijom, s bilo kojim centrom
i osi.
Svaka kolineacija, pa posebno i centralna, u PG(2,[b]R[/b]) ima koordinatni prikaz
oblika kX' = AX (A je regularna matrica reda 3, određeno do na faktor
različit od 0 tj proporcionalne matrice pripadaju istoj kolineaciji).
5. (a) Odredite jednadžbe homologije sa centrom (1,1,1) i osi [1,2,1].
(b) Odredite jednadžbe elacije sa centrom (1,-2-1) i osi [1,2,3].
6. Odredite opći oblik jednadžbi svih elacija s osi [1,0,0].
Interpretacijom u afinoj ravnini (pravac [1,0,0] upravo je "neizmjerno
daleki pravac" uz uobičajeni izbor koordinata) uočite da je dobiven
skup svih translacija.
7. Analogno: sve homologije sa centrom (1,0,0) i osi [1,0,0].
Interpretirajte u afinoj ravnini.
8. Neka je z bilo koji pravac. Promatra se skup svih kolineacija s osi z
(dakle, i elacije i homologije). Dokažite da je taj skup grupa. Potrebno
je posebno razmotriti različite slučajeve za centre kolineacija (npr. što
je kompozicija dviju homologija s osi z, a različitim centrima).
9. Za homologiju sa centrom S i osi o vrijedi: neka je X bilo koja nefiksna
točka i X' njezina slika, a F sjecište pravca SX s osi o. Tada dvoomjer
R(S,F; X, X') ne ovisi o izboru točke X.
Ako je taj dvoomjer -1, tj. ako je H(S,F;X,X'), ta homologija naziva se
[i]harmonička homologija[/i].
10. Kolineacija je involutorna ako i samo ako je to harmonička homologija,
Dokažite to analitički i sintetički. (Ni sintetički nije teško).
Povežite to s poznatim činjenicama iz afine odnosno euklidske ravnine.
(Pitanje: što sve može biti involutorna izometrija euklidske ravnine?
Obrazložite zašto.)
Evo nove skupine zadataka za vježbu.
Ovaj tekst bit će podijeljen na sljedećem predavanju,
a ovdje objavljujem kako bi što prije bio dostupan.
"Projektivitet" ukratko znači projektivitet između skupova točaka
na dva pravca (mogu biti i kolokalni skupovi točaka - na istom
pravcu) ili, dualno, između dva pramena pravaca (opet, moguće
je da vrh oba pramena bude ista točka).
Improvizirana oznaka A,B,C -^- A',B',C' znači projektivitet određen
navedenim točkama.
"Kolineacija" ukratko znači kolineacija projektivne ravnine, dakle
bijekcija točaka na točke i pravaca na pravce koja čuva incidenciju.
U pravilu se podrazumijeva da se sve radi u Pappusovoj ravnini
odnosno da se, u analitičkom pristupu, može razmatrati ravnina
PG(2, R) (dakle da se za polje posebno uzme polje realnih brojeva).
"Involucija" je involutorni projektivitet, odnosno involutorna kolineacija
(bijekcija je involutorna ako je jednaka svojoj inverznoj bijekciji).
Oznaka (AB) kod projektiviteta ili kolineacije znači da se A i B
preslikavaju uzajmno.
Zadaci:
1. Ako u projektivitetu na pravcu postoje različite točke A i B tako
da vrijedi (AB), taj projektivitet je involucija. Dokažite to analitički
(lagano). Važno je uočiti da već postojanje jednog para točaka
koji se "preslikava involutorno" implicira da je projektivitet involutoran.
Dokaz je moguć i sintetički, no treba konstruirati projektivitet
takav da za spomenute A i B te za bilo koju daljnju točku X i njezinu
sliku X' vrijedi A,B,X,X' -^- B,A,X',X. To zahtijeva dosjetke.
2. Svaki projektivitet na pravcu može se prikazati kao kompozicija neke
dvije involucije. Pokušajte analitički. (Važno je uzeti u obzir
karakteristični oblik involutornog projektiviteta u koordinatama na pravcu).
Provjerite da se bez koordinata može ovako:
Neka je zadan A,B,C -^- A',B',C'.
Uzmimo najprije involuciju (AB')(BA') i neka je D slika točke C
u toj involuciji. Kako zadati drugu involuciju da bi kompozicija s
navedenom (kao prvom u kompoziciji) dala upravo zadani projektivitet?
3. Presječnu šestorku potpunog četverovrha nekim pravcem čine tri para
točaka jedne involucije na tom pravcu. (U istom paru su sjecišta s
parom suprotnih stranica četverovrha). Dokažite to. Analitički ima nešto
posla, ali ide glatko.
Zadatak je važan, kao dio zasebni dio teorema koji će se naučiti kasnije.
Ideja za elegantan sintetički dokaz:
Neka je PQRS zadani četverovrh i neka pravac z (koji ne prolazi nijednim
od vrhova, premda općenito to nije isključeno) siječe stranice ovako:
RS u A, PQ u A';
QR u B, PS u B';
PR u C, QS u C'.
Na točke pravca z najprije se primijeni perspektivitet iz centra S na pravac PQ,
a zatim se iz centra R projicira PQ natrag na pravac z.
Odredite što su u dobivenom projektivitetu slike točaka A, A', B' i C'.
Kad to ustanovite, primijenite da za bilo koje točke XYZW na nekom pravcu
postoji projektivitet XYZW -^- YXWZ. (Zašto?)
Ukupno se dobiva tražena tvrdnja. Provjerite.
4. U involuciji (AA')(BB') na pravcu neke točke F i G čine pridruženi par
ako i samo ako postoji (hiperbolički) projektivitet: FGAB' -^- FGBA'.
Sad "izlazimo" u ravninu. Promatraju se centralne kolineacije (a znamo
teorem da je kolineacija centralna ako i samo ako je osna,
tj. da ima pramen fiksnih pravaca ako i samo ako ima fiksni pravac na
kojem je svaka točka fiksna). Centralne kolineacije dijele se na homologije
(centar je izvan osi) i elacije (centar je na osi).
Identiteta se po definiciji smatra i homologijom i elacijom, s bilo kojim centrom
i osi.
Svaka kolineacija, pa posebno i centralna, u PG(2,R) ima koordinatni prikaz
oblika kX' = AX (A je regularna matrica reda 3, određeno do na faktor
različit od 0 tj proporcionalne matrice pripadaju istoj kolineaciji).
5. (a) Odredite jednadžbe homologije sa centrom (1,1,1) i osi [1,2,1].
(b) Odredite jednadžbe elacije sa centrom (1,-2-1) i osi [1,2,3].
6. Odredite opći oblik jednadžbi svih elacija s osi [1,0,0].
Interpretacijom u afinoj ravnini (pravac [1,0,0] upravo je "neizmjerno
daleki pravac" uz uobičajeni izbor koordinata) uočite da je dobiven
skup svih translacija.
7. Analogno: sve homologije sa centrom (1,0,0) i osi [1,0,0].
Interpretirajte u afinoj ravnini.
8. Neka je z bilo koji pravac. Promatra se skup svih kolineacija s osi z
(dakle, i elacije i homologije). Dokažite da je taj skup grupa. Potrebno
je posebno razmotriti različite slučajeve za centre kolineacija (npr. što
je kompozicija dviju homologija s osi z, a različitim centrima).
9. Za homologiju sa centrom S i osi o vrijedi: neka je X bilo koja nefiksna
točka i X' njezina slika, a F sjecište pravca SX s osi o. Tada dvoomjer
R(S,F; X, X') ne ovisi o izboru točke X.
Ako je taj dvoomjer -1, tj. ako je H(S,F;X,X'), ta homologija naziva se
harmonička homologija.
10. Kolineacija je involutorna ako i samo ako je to harmonička homologija,
Dokažite to analitički i sintetički. (Ni sintetički nije teško).
Povežite to s poznatim činjenicama iz afine odnosno euklidske ravnine.
(Pitanje: što sve može biti involutorna izometrija euklidske ravnine?
Obrazložite zašto.)
|
