|
[b] Zadaci o polaritetima i konikama (2)[/b]
1. Konika je zadana s 5 točaka (nikoje 3 kolinearne). Konstruirajte
polaru zadane točke koja ne pripada toj konici.
(Uputa: Kao lakši slučaj može se prvo konstruirati polara točke
koja je sjecište dvije sekante kroz neke od zadanih točaka konike.
Za opću točku svede se na taj slučaj, uz pomoćne konstrukcije).
2. Zadane su dvije tangente konike s diralištima i još jedna točka
konike. Konstruirajte još neku točku te konike,
(a) pomoću Pascalovog teorema
(b) pomoću Steinerovog teorema (i centra projektiviteta).
3. Zadani su pravci a, b i točke P, Q, R od koji nijedna ne pripada
pravcu a ili b. Promatra se skup svih trovrha ABC takvih da je
vrh A na pravcu a, vrh B na b, a stranice AB, BC i CA prolaze
redom točkama P, Q i R. Kakav skup točaka opisuje vrh C, kad
A i B poprimaju sve moguće položaje?
(Uputa: C je sjecište pravaca RA i QB. Primijenite Steinerov
teorem).
4. Pomoću pramena konika odredite jednadžbu konike koja
prolazi točkama (2,1,-1), (2,1,8 ), (2,3,-2), (0,1,2) i (4,5,-2).
5. Neka je trovrh upisan konici. Tada bilo koji pravac koji je
konjugiran jednoj stranici tog trovrha (u polaritetu te konike)
siječe ostale dvije stranice u uzajamno konjugiranim točkama.
Dokažite.
6. Neka je C zadana konika, Q točka koja ne pripada C i
pravac q polara točke Q. Dokažite da se u harmoničkoj
homologiji s centrom Q i osi q konika C preslikava sama
u sebe.
7. Neka su C1 i C2 dvije konike, a z pravac koji nije njihova
zajednička tangenta. Za varijabilnu točku T pravca z
neka je T' sjecište polara od T s obzirom na C1 i na C2.
Kakav skup opisuje točka T' kad T prolazi pravcem z?
8. Neka su A i B različite točke i pravac a njihova spojnica.
Nadalje, neka su a1 i a2 pravci kroz A, različiti od a,
b1 i b2 pravci kroz B različiti od a.
Razmotrimo projektivitet pramenova (A)-^-(B) koji
preslikava redom a, a1 i a2 u b1, a i b2.
Izaberimo osnovne koordinatne točke tako da je A=(1,0,0),
B = (0,1,0), nadalje (0,0,1) sjecište a1 i b1, te (1,1,1)
sjecište a2 i b2.
(Uočimo da je to moguće bez gubitka općenitosti).
Pokažite da za sjecište (x0,x1,x2) bilo kojeg pravca
iz (A) i njegove slike iz (B) u tom projektivitetu vrijedi:
x0 x1 - (x2)^2 = 0.
Ovo je jednadžba nesingularne konike i na taj način
dokazan je teorem da sjecišta pridruženih pravaca u
projektivitetu (koji nije perspektivitet) pramenova pravaca
čine jednu nesingularnu koniku.
(Pritom je pravac a1 tangenta konike u točki A,
analogno b1 u točki B).
9. Na temelju tvrdnje i dokaza iz 8. pokušajte dokazati da
su svake dvije nesingularne konike u ravnini PG(2,[b]R[/b])
projektivno ekvivalentne, tj. da postoji projektivna
transformacija ravnine koja preslikava zadanu koniku
u bilo koju drugu (nesingularnu) koniku.
Zadaci o polaritetima i konikama (2)
1. Konika je zadana s 5 točaka (nikoje 3 kolinearne). Konstruirajte
polaru zadane točke koja ne pripada toj konici.
(Uputa: Kao lakši slučaj može se prvo konstruirati polara točke
koja je sjecište dvije sekante kroz neke od zadanih točaka konike.
Za opću točku svede se na taj slučaj, uz pomoćne konstrukcije).
2. Zadane su dvije tangente konike s diralištima i još jedna točka
konike. Konstruirajte još neku točku te konike,
(a) pomoću Pascalovog teorema
(b) pomoću Steinerovog teorema (i centra projektiviteta).
3. Zadani su pravci a, b i točke P, Q, R od koji nijedna ne pripada
pravcu a ili b. Promatra se skup svih trovrha ABC takvih da je
vrh A na pravcu a, vrh B na b, a stranice AB, BC i CA prolaze
redom točkama P, Q i R. Kakav skup točaka opisuje vrh C, kad
A i B poprimaju sve moguće položaje?
(Uputa: C je sjecište pravaca RA i QB. Primijenite Steinerov
teorem).
4. Pomoću pramena konika odredite jednadžbu konike koja
prolazi točkama (2,1,-1), (2,1,8 ), (2,3,-2), (0,1,2) i (4,5,-2).
5. Neka je trovrh upisan konici. Tada bilo koji pravac koji je
konjugiran jednoj stranici tog trovrha (u polaritetu te konike)
siječe ostale dvije stranice u uzajamno konjugiranim točkama.
Dokažite.
6. Neka je C zadana konika, Q točka koja ne pripada C i
pravac q polara točke Q. Dokažite da se u harmoničkoj
homologiji s centrom Q i osi q konika C preslikava sama
u sebe.
7. Neka su C1 i C2 dvije konike, a z pravac koji nije njihova
zajednička tangenta. Za varijabilnu točku T pravca z
neka je T' sjecište polara od T s obzirom na C1 i na C2.
Kakav skup opisuje točka T' kad T prolazi pravcem z?
8. Neka su A i B različite točke i pravac a njihova spojnica.
Nadalje, neka su a1 i a2 pravci kroz A, različiti od a,
b1 i b2 pravci kroz B različiti od a.
Razmotrimo projektivitet pramenova (A)-^-(B) koji
preslikava redom a, a1 i a2 u b1, a i b2.
Izaberimo osnovne koordinatne točke tako da je A=(1,0,0),
B = (0,1,0), nadalje (0,0,1) sjecište a1 i b1, te (1,1,1)
sjecište a2 i b2.
(Uočimo da je to moguće bez gubitka općenitosti).
Pokažite da za sjecište (x0,x1,x2) bilo kojeg pravca
iz (A) i njegove slike iz (B) u tom projektivitetu vrijedi:
x0 x1 - (x2)^2 = 0.
Ovo je jednadžba nesingularne konike i na taj način
dokazan je teorem da sjecišta pridruženih pravaca u
projektivitetu (koji nije perspektivitet) pramenova pravaca
čine jednu nesingularnu koniku.
(Pritom je pravac a1 tangenta konike u točki A,
analogno b1 u točki B).
9. Na temelju tvrdnje i dokaza iz 8. pokušajte dokazati da
su svake dvije nesingularne konike u ravnini PG(2,R)
projektivno ekvivalentne, tj. da postoji projektivna
transformacija ravnine koja preslikava zadanu koniku
u bilo koju drugu (nesingularnu) koniku.
|
