|
1. Na skupu [b]Z[/b] cijelih brojeva zadana je binarna operacija * ovako:
Ako je [i]a[/i] paran, [i] a[/i]*[i]b[/i] = [i]a[/i]+[i]b[/i]. Ako je [i]a[/i] neparan, [i]a[/i]*[i]b[/i] = [i]a[/i]-[i]b[/i].
Ispitajte je li ([b]Z[/b],*) grupa.
(Zadatak s kolokvija otprije 2 godine, jako koristan).
2. Neka je [i]V[/i] vektorski prostor dimenzije [i]n[/i]>1 i[i] v[/i] vektor iz [i]V[/i] različit od nulvektora.
Pokažite da u tom prostoru postoji linearno nezavisan podskup {[i]x[/i],[i]y[/i]} takav da
vrijedi [i]x[/i] + [i]y[/i] = [i]v[/i].
(Zadatak s kolokvija otprije 3 godine, prilično koristan na svoj način).
3. Neka je [i]V[/i] vektorski prostor dimenzije [i]n[/i]>0 nad poljem [i]F[/i] koje ima
beskonačno mnogo elemenata (npr. [b]R[/b] ili [b]C[/b]). Dokažite da u [i]V[/i] postoji
beskonačno mnogo različitih baza (pri čemu se baza može, ali ne mora
smatrati uređenim skupom, dakle za bazu od [i]n[/i] vektora ne razlikujemo
[i]n[/i]! baza dobivenih različitim uređajima istog skupa). Drugim riječima,
ako vektorski prostor nad beskonačnim poljem ima barem jednu bazu, onda
ih ima beskonačno mnogo.
(Zadatak iz opće kulture, nije bio na kolokviju).
4. Za razliku od situacije pretpostavljene u 3. zadatku, [i]n[/i]-dimenzionalni vektorski
prostor nad konačnim poljem ima konačno mnogo baza (naime, takav vektorski
prostor je konačan skup pa ima i konačno mnogo različitih podskupova, dakle
i konačno mnogo baza). Broj različitih baza može se točno izračunati pomoću
dimenzije [i]n[/i] i broja elemenata polja. Pokušajte dokazati da 3-dim. prostor nad
najmanjim konačnim poljem [b]Z[/b]_2 = {0,1} ima točno 28 baza (odnosno 168,
ako se baza promatra kao uređen skup pa se 28 pomnoži s 3! = 6). Kakvih
tročlanih podskupova ima više u tom prostoru, oni koji jesu baza ili koji nisu baza?
(Zadatak iz zabavne matematike, neće biti na kolokviju. Prelagan je).
5. U svakom vektorskom prostoru dimenzije [i]n[/i] > 0 postoji skup od [i]n[/i]+1 vektora
takav da se uklanjanjem bilo kojeg od elemenata tog skupa dobiva baza prostora.
Dokažite to.
6. U vektorskom prostoru [i]V[/i]^3 ili [i]V[/i]^3([i]O[/i]) zadani su vektori [b]a[/b] i [b]b[/b], različiti od [b]0[/b].
Dokažite da skup svih vektora [b]x[/b] takvih da je mješoviti produkt
([b]x[/b],[b]a[/b],[b]b[/b]) = 0 čini potprostor i odredite dimenziju tog potprostora u
zavisnosti od izbora vektora [b]a[/b] i [b]b[/b].
("Vječiti" zadatak s kolokvija/ispita, ali možda u prošlom stoljeću).
1. Na skupu Z cijelih brojeva zadana je binarna operacija * ovako:
Ako je a paran, a*b = a+b. Ako je a neparan, a*b = a-b.
Ispitajte je li (Z,*) grupa.
(Zadatak s kolokvija otprije 2 godine, jako koristan).
2. Neka je V vektorski prostor dimenzije n>1 i v vektor iz V različit od nulvektora.
Pokažite da u tom prostoru postoji linearno nezavisan podskup {x,y} takav da
vrijedi x + y = v.
(Zadatak s kolokvija otprije 3 godine, prilično koristan na svoj način).
3. Neka je V vektorski prostor dimenzije n>0 nad poljem F koje ima
beskonačno mnogo elemenata (npr. R ili C). Dokažite da u V postoji
beskonačno mnogo različitih baza (pri čemu se baza može, ali ne mora
smatrati uređenim skupom, dakle za bazu od n vektora ne razlikujemo
n! baza dobivenih različitim uređajima istog skupa). Drugim riječima,
ako vektorski prostor nad beskonačnim poljem ima barem jednu bazu, onda
ih ima beskonačno mnogo.
(Zadatak iz opće kulture, nije bio na kolokviju).
4. Za razliku od situacije pretpostavljene u 3. zadatku, n-dimenzionalni vektorski
prostor nad konačnim poljem ima konačno mnogo baza (naime, takav vektorski
prostor je konačan skup pa ima i konačno mnogo različitih podskupova, dakle
i konačno mnogo baza). Broj različitih baza može se točno izračunati pomoću
dimenzije n i broja elemenata polja. Pokušajte dokazati da 3-dim. prostor nad
najmanjim konačnim poljem Z_2 = {0,1} ima točno 28 baza (odnosno 168,
ako se baza promatra kao uređen skup pa se 28 pomnoži s 3! = 6). Kakvih
tročlanih podskupova ima više u tom prostoru, oni koji jesu baza ili koji nisu baza?
(Zadatak iz zabavne matematike, neće biti na kolokviju. Prelagan je).
5. U svakom vektorskom prostoru dimenzije n > 0 postoji skup od n+1 vektora
takav da se uklanjanjem bilo kojeg od elemenata tog skupa dobiva baza prostora.
Dokažite to.
6. U vektorskom prostoru V^3 ili V^3(O) zadani su vektori a i b, različiti od 0.
Dokažite da skup svih vektora x takvih da je mješoviti produkt
(x,a,b) = 0 čini potprostor i odredite dimenziju tog potprostora u
zavisnosti od izbora vektora a i b.
("Vječiti" zadatak s kolokvija/ispita, ali možda u prošlom stoljeću).
|
