|
Pitanje bi (mi) bilo jasno kad ne bi bilo zadnje rečenice -
"znam prikazati kao linearnu kombinaciju vektora iz A skupa,
ali ne znam prikazati u toj bazi".
No, da ne duljim, možda će iz ovog biti jasnije što treba učiniti.
Vektor a (mogao je biti i neki drugi, zadan kao lin. kombinacija
a,b,c i d budući da je to baza) treba prikazati kao linearnu
kombinaciju vektora iz skupa A i/ili B, ovisno o tome je li A odnosno
B baza ili nije.
U početnoj bazi a ima prikaz a = 1a +0b +0c + 0d, naravno.
Za neku drugu bazu trebamo odrediti odgovarajuće koeficijente,
što se redovito svodi na sustav linearnih jednadžbi.
U ovom zadatku A očito nije baza (pokažite sami zašto) pa pokušajmo
s B.
a = x(a+b+c) + y(a-b+d) + z(a-c-d) + t(b+c+d).
(ovdje su x, y, z, t traženi koeficijenti).
Ovu jednadžbu najprije napišemo u obliku takvom da je
linearna kombinacija vektora a, b, c i d jednaka nulvektoru,
kako bismo mogli iskoristiti lin. nezavisnost skupa {a,b,c,d}.
Dakle:
(x+y+z-1)a + (x-y+t)b + (x-z+t)c + (y-z+t) d = 0.
Sad imamo sustav jednadžbi:
x+y+z-1 = 0
x-y+t = 0
x-z+t = 0
y-z+t = 0.
Vrlo jednostavno se dobije rješenje za (x,y,z,t).
Ako nismo provjeravali je li B doista baza, to što a ima
prikaz samo po sebi ne znači da B jest baza, nego samo
da se a nalazi u [B].
Korisno je da ustanovite sami je li B baza, a također
(ako jest) da za općeniti vektor (lin. kombinaciju a,b,c i d)
pronađete prikaz pomoću vektora iz B.
Štoviše, umjesto da se "posebno" ispituje je li B baza,
može se za opći vektor tražiti prikaz pomoću vektora iz B
pa ako takav prikaz postoji, bit će jedinstven i to će značiti
da je i B baza (pritom se služimo činjenicom da B ima baš 4
elementa, koliko i zadana baza, pa ako je B sustav izvodnica onda je
sigurno i baza; no, naravno, može se najprije provjeriti je li
linearno nezavisan pa će onda biti i baza, opet zato što ima
baš 4 vektora, a dim V = 4).
Pitanje bi (mi) bilo jasno kad ne bi bilo zadnje rečenice -
"znam prikazati kao linearnu kombinaciju vektora iz A skupa,
ali ne znam prikazati u toj bazi".
No, da ne duljim, možda će iz ovog biti jasnije što treba učiniti.
Vektor a (mogao je biti i neki drugi, zadan kao lin. kombinacija
a,b,c i d budući da je to baza) treba prikazati kao linearnu
kombinaciju vektora iz skupa A i/ili B, ovisno o tome je li A odnosno
B baza ili nije.
U početnoj bazi a ima prikaz a = 1a +0b +0c + 0d, naravno.
Za neku drugu bazu trebamo odrediti odgovarajuće koeficijente,
što se redovito svodi na sustav linearnih jednadžbi.
U ovom zadatku A očito nije baza (pokažite sami zašto) pa pokušajmo
s B.
a = x(a+b+c) + y(a-b+d) + z(a-c-d) + t(b+c+d).
(ovdje su x, y, z, t traženi koeficijenti).
Ovu jednadžbu najprije napišemo u obliku takvom da je
linearna kombinacija vektora a, b, c i d jednaka nulvektoru,
kako bismo mogli iskoristiti lin. nezavisnost skupa {a,b,c,d}.
Dakle:
(x+y+z-1)a + (x-y+t)b + (x-z+t)c + (y-z+t) d = 0.
Sad imamo sustav jednadžbi:
x+y+z-1 = 0
x-y+t = 0
x-z+t = 0
y-z+t = 0.
Vrlo jednostavno se dobije rješenje za (x,y,z,t).
Ako nismo provjeravali je li B doista baza, to što a ima
prikaz samo po sebi ne znači da B jest baza, nego samo
da se a nalazi u [B].
Korisno je da ustanovite sami je li B baza, a također
(ako jest) da za općeniti vektor (lin. kombinaciju a,b,c i d)
pronađete prikaz pomoću vektora iz B.
Štoviše, umjesto da se "posebno" ispituje je li B baza,
može se za opći vektor tražiti prikaz pomoću vektora iz B
pa ako takav prikaz postoji, bit će jedinstven i to će značiti
da je i B baza (pritom se služimo činjenicom da B ima baš 4
elementa, koliko i zadana baza, pa ako je B sustav izvodnica onda je
sigurno i baza; no, naravno, može se najprije provjeriti je li
linearno nezavisan pa će onda biti i baza, opet zato što ima
baš 4 vektora, a dim V = 4).
|
