Ajmo ukratko par generalnih napomena i savjeta kako i što raditi i što se očekuje od studenata, a i kako gledati na same vježbe.
Poanta vježbi, tj. zadataka s vježbi nije u tome da vi naučite algoritme za rješavanje zadataka i onda ih kao neki roboti primjenjujete. Nažalost, upravo se to u većini slučajeva događa. Ne znam je li to zato jer se stiče dojam da se to očekuje od studenata ili jednostavno zato jer je to "najlakše". Ne vrijedi bezveze ona uzreka "Najteže je razmišljati!"
Dakle, nikako se to ne očekuje od studenata. I vjerujte da smo jako sretni kad prilikom ispravljanja kolokvija i/ili razgovora naletimo na onu manjinu koja radi ono što se očekuje, a to je pokušati što više toga [b]razumjeti[/b] i [b]razmišljati[/b] svojom glavom.
Asistenti su tu da vam pomognu da razumijete gradivo, a ne da vas nauče algoritme za rješavanje. Pri tome je česta pojava da bude opća pobuna ako se na kolokviju slučajno nađe neki zadatak za koji nema šablone, a ne vidi se rješenje iz aviona. Takvih zadataka će uvijek biti! :)
Naravno da sve kreće od toga da se prvo pokaže neki način koji je tamo prije 100-200 godina već netko smislio (ne otkrivamo toplu vodu). No, ono što dalje ide nije naučiti taj način na pamet. Naime, potrebno je uvidjeti ključne korake i pokušati razumjeti zašto ih radimo, ukratko, razumjeti poantu i razlikovati bitno od nebitnoga.
Npr. nebitno je poznavanje ogromne količine formula, po mom mišljenu je to vrlo često i štetno. Bitno je razumjevanje gradiva - onda do svih formula možete vrlo brzo i sami doći, bez da ih znate na pamet. Samim poznavanjem formula nećete ništa razumjeti.
Pokušati ću reći nešto i o samim temama koje (za sad) morate sami doma proći. Očekujem da će ih biti još znatan broj za samostalan rad. Nije izgledno da će se situacija "vratiti u normalu" tako skoro - sigurno ne u idućih tjedan dana. Nadajmo se da sam u krivu! :D
[i]Poglavlje [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_3.pdf]1.3[/url] (Derivacije višeg reda):[/i]
Jasno je da nikada u "stvarnom životu" nećete računati [tex]f^{(100)}(x)[/tex] od tamo neke funkcije, svi znamo koristiti [url=https://www.wolframalpha.com/]Wolfram Alphu[/url] ili neke slične alate. No, kao što sam gore već napomenuo. To ručno računanje služi tome da skužite što se događa i da steknete što veće razumijevanje samog pojma derivacije. Na kolokviju se upravo to ispituje. Zato ako samo fulate u računu, npr. [tex]4 + 6 = 11[/tex] ćete izgubit možda jedan bod (nekad i nijedan). No, ako napravite neku grešku tipa računate derivaciju u točki [tex]x = 2020[/tex] i prvo ubacite [tex]2020[/tex] u funkciju umjesto [tex]x[/tex] i onda derivirate i onda još uspijete dobit da je to nešto različito od [tex]0[/tex]. Ne očekujte ništa više od [tex]0[/tex] bodova na tom zadatku. Naprosto zato jer je to pokazatelj ekstremnog nerazumijevanja gradiva. Tj. niste pokazali nikakav napredak u svladavanju kolegija.
Ukratko - ovo poglavlje služi tome da razvijete osnovnu intuiciju za deriviranje elementarnih funkcija.
Nadalje, na svakom zadatku uvijek prvo RAZMISLITE!! Nekad će vam direktni pristup (lupanje po generičkom načino rješavanja) zadati velike muke jer će vam se račun zakomplicirati i uzeti puno previše vremena. Ništa od toga se ne bi dogodilo da ste na početku odmah uočili neke pravilnosti ili nešto tome slično. :)
Dakle, rješavajte, matematika MORA PROĆI KROZ RUKE!
RAZMIŠLJATJE!
PITAJTE! :)
[i]Poglavlje [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_4.pdf]1.4[/url] (Tangenta i normala):[/i]
Ovo poglavlje govori o tangenatama (i s njima direktno povezanim normalama). Naime, normala je naprosto tangenta zarotirana za [tex]90^\circ[/tex] u točki dirališta.
Ovdje je bitno napomenti da ne doživljavate tangentu kao "pravac koji s krivuljom ima točno jednu zajedničku točku". Ta definicija je u srednjoj točki česta i ona je skroz u redu pošto vrijedi za kružnicu.
Međutim, to već za hiperbolu ne vrijedi.
Tangenta je pravac koji krivulju najbolje aproksimira u danoj točki. U toj točki mjeri nagib krivulje.
Pokušajte sljedeće: uzmite ravnalo ili bilo koji ravni predmet (olovku, hrbat knjige...) i uzmite nešto zaobljeno npr. rub tanjura ili presavijeni remen ili nešto tome slično. Uzmite bilo koju točku na tom zaobljenom i prislonite ravnalo na tu točku. Primijetiti da ako samo malo pomaknete ravnalo, točka dodira se mijenja! Dakle, u svakoj točki imate točno jednu opciju - tangentu!
Uzmite opet to ravnalo i pokušajte ga prisloniti na vrh olovke. Što se događa ako ravnalo malo nagnete? I dalje dirate isti vrh! Dakle, tangenta ne postoji u vrhu!! Odnosno, svaki šiljak grafa funkcije je mjesto u kojem derivacija ne postoji.
Da bismo vidjeli da je nagib tangente (tj. koeficijent [tex]k[/tex] u jednadžbi pravca [tex]y = kx + l[/tex]) upravo jednak derivaciji funkcije - ova animacija je super: [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative#/media/File:Tangent_animation.gif]klik[/url]. Ima ih mnoštvo po internetu - slobodno sami malo istražite! :)
Da ne ponavljam sve kao i gore - nije poanta da naučite derivirati kao strojevi, poanta da da razvijete razumijevanje! Neka [url=https://www.wolframalpha.com/]Wolfram Alpha[/url] i slični deriviraju! :)
[i]Poglavlje [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_5.pdf]1.5[/url] ( L’Hôpitalovo pravilo):[/i] Da ne kompliciramo, [url=https://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_rule]ovdje[/url] piše sve i sve je jako dobro i detaljno objašnjeno. Ponavljam kao papiga, ali iskustvo govori da tog ponavljanja nikad dovoljno. RAZUMIJEVANJE! NE učenje na pamet!!
[i]Poglavlje [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_6.pdf]1.6[/url] (Neprekidnost i derivabilnost):[/i]
Za početak je ključno poznavanje i razumijevanje teorema 4.1 na stranici 92 u [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/~guljas/skripte/MATANALuR.pdf]skripti[/url] prof. Guljaša. Dakle, ako je funkcija derivabilna, onda je ona i neprekidna. No, zapravo nam taj teorem govori i "više" - ako funkcija ima [tex]n[/tex]-tu derivaciju, tj. ako je [tex]n[/tex] puta derivabilna, onda je sigurno [url=http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=194407#194407]klase[/url] [tex]C^{n-1}[/tex]. Da bi bila [url=http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=194407#194407]klase[/url] [tex]C^n[/tex] moramo još provjeriti je li ta [tex]n[/tex]-ta derivacija nužno neprekidna - NE MORA BITI! Možete li naći primjer? :)
Rješenja su dosta detaljno napisana. Pitajte ako BILO ŠTO nije jasno! :)
Rješavajte i zadatke za samostalni rad! Ako ne idu iz prve ne odustajte - razmislite! Tako se najbolje i najkvalitetnije matematika shvaća!
Uvijek smo dostupni za pitanja!
Naravno, nadam se da ne treba napominjati kako prije bilo kakvog rješavanje morate ispuniti osnovni preduvjet!
To je poznavanje pojmova i osnovne teorije!
ČITAJTE [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/~guljas/skripte/MATANALuR.pdf]skriptu[/url] prof. Guljaša! Još jedno, prije ikakvog rješavanje - upoznajte se s pojmovima!
Sretno svima! :)
Ajmo ukratko par generalnih napomena i savjeta kako i što raditi i što se očekuje od studenata, a i kako gledati na same vježbe.
Poanta vježbi, tj. zadataka s vježbi nije u tome da vi naučite algoritme za rješavanje zadataka i onda ih kao neki roboti primjenjujete. Nažalost, upravo se to u većini slučajeva događa. Ne znam je li to zato jer se stiče dojam da se to očekuje od studenata ili jednostavno zato jer je to "najlakše". Ne vrijedi bezveze ona uzreka "Najteže je razmišljati!"
Dakle, nikako se to ne očekuje od studenata. I vjerujte da smo jako sretni kad prilikom ispravljanja kolokvija i/ili razgovora naletimo na onu manjinu koja radi ono što se očekuje, a to je pokušati što više toga razumjeti i razmišljati svojom glavom.
Asistenti su tu da vam pomognu da razumijete gradivo, a ne da vas nauče algoritme za rješavanje. Pri tome je česta pojava da bude opća pobuna ako se na kolokviju slučajno nađe neki zadatak za koji nema šablone, a ne vidi se rješenje iz aviona. Takvih zadataka će uvijek biti!
Naravno da sve kreće od toga da se prvo pokaže neki način koji je tamo prije 100-200 godina već netko smislio (ne otkrivamo toplu vodu). No, ono što dalje ide nije naučiti taj način na pamet. Naime, potrebno je uvidjeti ključne korake i pokušati razumjeti zašto ih radimo, ukratko, razumjeti poantu i razlikovati bitno od nebitnoga.
Npr. nebitno je poznavanje ogromne količine formula, po mom mišljenu je to vrlo često i štetno. Bitno je razumjevanje gradiva - onda do svih formula možete vrlo brzo i sami doći, bez da ih znate na pamet. Samim poznavanjem formula nećete ništa razumjeti.
Pokušati ću reći nešto i o samim temama koje (za sad) morate sami doma proći. Očekujem da će ih biti još znatan broj za samostalan rad. Nije izgledno da će se situacija "vratiti u normalu" tako skoro - sigurno ne u idućih tjedan dana. Nadajmo se da sam u krivu!
Poglavlje 1.3 (Derivacije višeg reda):
Jasno je da nikada u "stvarnom životu" nećete računati [tex]f^{(100)}(x)[/tex] od tamo neke funkcije, svi znamo koristiti Wolfram Alphu ili neke slične alate. No, kao što sam gore već napomenuo. To ručno računanje služi tome da skužite što se događa i da steknete što veće razumijevanje samog pojma derivacije. Na kolokviju se upravo to ispituje. Zato ako samo fulate u računu, npr. [tex]4 + 6 = 11[/tex] ćete izgubit možda jedan bod (nekad i nijedan). No, ako napravite neku grešku tipa računate derivaciju u točki [tex]x = 2020[/tex] i prvo ubacite [tex]2020[/tex] u funkciju umjesto [tex]x[/tex] i onda derivirate i onda još uspijete dobit da je to nešto različito od [tex]0[/tex]. Ne očekujte ništa više od [tex]0[/tex] bodova na tom zadatku. Naprosto zato jer je to pokazatelj ekstremnog nerazumijevanja gradiva. Tj. niste pokazali nikakav napredak u svladavanju kolegija.
Ukratko - ovo poglavlje služi tome da razvijete osnovnu intuiciju za deriviranje elementarnih funkcija.
Nadalje, na svakom zadatku uvijek prvo RAZMISLITE!! Nekad će vam direktni pristup (lupanje po generičkom načino rješavanja) zadati velike muke jer će vam se račun zakomplicirati i uzeti puno previše vremena. Ništa od toga se ne bi dogodilo da ste na početku odmah uočili neke pravilnosti ili nešto tome slično.
Dakle, rješavajte, matematika MORA PROĆI KROZ RUKE!
RAZMIŠLJATJE!
PITAJTE!
Poglavlje 1.4 (Tangenta i normala):
Ovo poglavlje govori o tangenatama (i s njima direktno povezanim normalama). Naime, normala je naprosto tangenta zarotirana za [tex]90^\circ[/tex] u točki dirališta.
Ovdje je bitno napomenti da ne doživljavate tangentu kao "pravac koji s krivuljom ima točno jednu zajedničku točku". Ta definicija je u srednjoj točki česta i ona je skroz u redu pošto vrijedi za kružnicu.
Međutim, to već za hiperbolu ne vrijedi.
Tangenta je pravac koji krivulju najbolje aproksimira u danoj točki. U toj točki mjeri nagib krivulje.
Pokušajte sljedeće: uzmite ravnalo ili bilo koji ravni predmet (olovku, hrbat knjige...) i uzmite nešto zaobljeno npr. rub tanjura ili presavijeni remen ili nešto tome slično. Uzmite bilo koju točku na tom zaobljenom i prislonite ravnalo na tu točku. Primijetiti da ako samo malo pomaknete ravnalo, točka dodira se mijenja! Dakle, u svakoj točki imate točno jednu opciju - tangentu!
Uzmite opet to ravnalo i pokušajte ga prisloniti na vrh olovke. Što se događa ako ravnalo malo nagnete? I dalje dirate isti vrh! Dakle, tangenta ne postoji u vrhu!! Odnosno, svaki šiljak grafa funkcije je mjesto u kojem derivacija ne postoji.
Da bismo vidjeli da je nagib tangente (tj. koeficijent [tex]k[/tex] u jednadžbi pravca [tex]y = kx + l[/tex]) upravo jednak derivaciji funkcije - ova animacija je super: klik. Ima ih mnoštvo po internetu - slobodno sami malo istražite!
Da ne ponavljam sve kao i gore - nije poanta da naučite derivirati kao strojevi, poanta da da razvijete razumijevanje! Neka Wolfram Alpha i slični deriviraju!
Poglavlje 1.5 ( L’Hôpitalovo pravilo): Da ne kompliciramo, ovdje piše sve i sve je jako dobro i detaljno objašnjeno. Ponavljam kao papiga, ali iskustvo govori da tog ponavljanja nikad dovoljno. RAZUMIJEVANJE! NE učenje na pamet!!
Poglavlje 1.6 (Neprekidnost i derivabilnost):
Za početak je ključno poznavanje i razumijevanje teorema 4.1 na stranici 92 u skripti prof. Guljaša. Dakle, ako je funkcija derivabilna, onda je ona i neprekidna. No, zapravo nam taj teorem govori i "više" - ako funkcija ima [tex]n[/tex]-tu derivaciju, tj. ako je [tex]n[/tex] puta derivabilna, onda je sigurno klase [tex]C^{n-1}[/tex]. Da bi bila klase [tex]C^n[/tex] moramo još provjeriti je li ta [tex]n[/tex]-ta derivacija nužno neprekidna - NE MORA BITI! Možete li naći primjer?
Rješenja su dosta detaljno napisana. Pitajte ako BILO ŠTO nije jasno!
Rješavajte i zadatke za samostalni rad! Ako ne idu iz prve ne odustajte - razmislite! Tako se najbolje i najkvalitetnije matematika shvaća!
Uvijek smo dostupni za pitanja!
Naravno, nadam se da ne treba napominjati kako prije bilo kakvog rješavanje morate ispuniti osnovni preduvjet!
To je poznavanje pojmova i osnovne teorije!
ČITAJTE skriptu prof. Guljaša! Još jedno, prije ikakvog rješavanje - upoznajte se s pojmovima!
Sretno svima!
|