|
[b]zadatak[/b] [i](2. kolokvij iz MA2 2014.)[/i] Odredite sve [tex]\beta \in \mathbb{R}[/tex] za koje red [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{n}} - 1 - \frac{1}{n}\right)^{\beta}[/tex] konvergira.
Asistent je danas na vježbama bio jako neispavan (nije neka isprika :D), zapravo nema neke mudrosti u zadatku. Hvala kolegama koji su mi ukazali na tu moju nesmotrenost. :D
Znamo da je [tex]e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \ldots[/tex] (Sjetimo se Maclaurinovog razvoja funkcije [tex]e^x[/tex].), stoga je [tex]e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} +
\ldots [/tex]
Ovo nam samo daje naslutiti da se izraz [tex]e^x - 1 - x[/tex] kada je [tex]x[/tex] "blizu nule" ponaša kao izraz [tex]x^2[/tex], tj. izraz [tex]e^{\frac{1}{n}} - 1 - \frac{1}{n}[/tex] se za "velike" [tex]n[/tex] ponaša kao izraz [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]. Pokažimo to i formalno.
[dtex]\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\left(e^{\frac{1}{n}} - 1 - \frac{1}{n}\right)^{\beta}}{\left(\frac{1}{n^2}\right)^{\beta}} = \lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{e^x - 1 - x}{x^2}\right)^{\beta} = \left(\frac{0}{0}\right) = \lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{e^x - 1}{2x}\right)^{\beta} = \left(\frac{0}{0}\right) = \lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{e^x}{2}\right)^{\beta} = \frac{1}{2^{\beta}} \in \left\langle 0, +\infty \right\rangle,\ \forall \beta \in \mathbb{R}.[/dtex]
Dakle, dani red konvergira ako i samo ako konvergira red [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2}\right)^{\beta}[/tex], a ovaj red konvergira ako i samo ako je [tex]\beta \in \left\langle \frac{1}{2}, +\infty \right\rangle[/tex].
Potpuno analogno se rješavaju preostali slični zadaci koji su se pojavili na kolokvijima te godine i tri godine prije toga.
[tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1 - \cos\frac{1}{n}\right)^{\alpha}[/tex] konvergira ako i samo ako je [tex]\alpha > \frac{1}{2}[/tex],
[tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1 - n\sin\frac{1}{n}\right)^{\alpha}[/tex] konvergira ako i samo ako je [tex]\alpha > \frac{1}{2}[/tex],
[tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\cosh\frac{1}{n} - \cos\frac{1}{n}\right)^{\alpha}[/tex] konvergira ako i samo ako je [tex]\alpha > \frac{1}{2}[/tex].
zadatak (2. kolokvij iz MA2 2014.) Odredite sve [tex]\beta \in \mathbb{R}[/tex] za koje red [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{n}} - 1 - \frac{1}{n}\right)^{\beta}[/tex] konvergira.
Asistent je danas na vježbama bio jako neispavan (nije neka isprika  ), zapravo nema neke mudrosti u zadatku. Hvala kolegama koji su mi ukazali na tu moju nesmotrenost.
Znamo da je [tex]e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \ldots[/tex] (Sjetimo se Maclaurinovog razvoja funkcije [tex]e^x[/tex].), stoga je [tex]e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} +
\ldots [/tex]
Ovo nam samo daje naslutiti da se izraz [tex]e^x - 1 - x[/tex] kada je [tex]x[/tex] "blizu nule" ponaša kao izraz [tex]x^2[/tex], tj. izraz [tex]e^{\frac{1}{n}} - 1 - \frac{1}{n}[/tex] se za "velike" [tex]n[/tex] ponaša kao izraz [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]. Pokažimo to i formalno.
[dtex]\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\left(e^{\frac{1}{n}} - 1 - \frac{1}{n}\right)^{\beta}}{\left(\frac{1}{n^2}\right)^{\beta}} = \lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{e^x - 1 - x}{x^2}\right)^{\beta} = \left(\frac{0}{0}\right) = \lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{e^x - 1}{2x}\right)^{\beta} = \left(\frac{0}{0}\right) = \lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{e^x}{2}\right)^{\beta} = \frac{1}{2^{\beta}} \in \left\langle 0, +\infty \right\rangle,\ \forall \beta \in \mathbb{R}.[/dtex]
Dakle, dani red konvergira ako i samo ako konvergira red [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2}\right)^{\beta}[/tex], a ovaj red konvergira ako i samo ako je [tex]\beta \in \left\langle \frac{1}{2}, +\infty \right\rangle[/tex].
Potpuno analogno se rješavaju preostali slični zadaci koji su se pojavili na kolokvijima te godine i tri godine prije toga.
[tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1 - \cos\frac{1}{n}\right)^{\alpha}[/tex] konvergira ako i samo ako je [tex]\alpha > \frac{1}{2}[/tex],
[tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1 - n\sin\frac{1}{n}\right)^{\alpha}[/tex] konvergira ako i samo ako je [tex]\alpha > \frac{1}{2}[/tex],
[tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\cosh\frac{1}{n} - \cos\frac{1}{n}\right)^{\alpha}[/tex] konvergira ako i samo ako je [tex]\alpha > \frac{1}{2}[/tex].
|
