|
Evo i zadataka s kolokvija od 6. prosinca 2017.
Slijede komentari o rješavanju, pogotovo stoga što se u 2. i 3.
zadatku spominje Pappusov teorem, a njime se zasad ne
služimo (svakako ne na 1. kolokviju).
1. Opišite kako se proširivanjem euklidske ravnine dobiva
projektivna ravnina. Dokažite da je dobivena incidencijska
struktura projektivna ravnina.
2. (Za projektivnu ravninu u kojoj vrijede Desarguesov i
Pappusov teorem)
Neka su A, B, C, D, E i F različite točke, takve da su AB, CD
i EF različiti pravci, konkurentni (prolaze jednom točkom).
Dokažite tvrdnju: ako su pravci AC, BF i DE konkurentni,
onda su i pravci AE, BD i CF konkurentni.
3. Tvrdnju 2. zadatka ilustrirajte u proširenoj euklidskoj
ravnini za posebni slučaj kad su trojke konkurentnih
pravaca međusobno paralelni pravci (različitih smjerova za
pojedine trojke). Primijenite dualni teorem Pappusovog
teorema kako biste riješili taj slučaj. (Rješenje se prihvaća
neovisno o rješavanju 2. zadatka).
4. (Za realnu projektivnu ravninu)
Zadani su pravci a[0:1:-1], b[1:0:-1], c[1:-3:2] i d[2:-1:-1]
pramena pravaca kroz točku T(1:1:1).
(i) Izrazite d pomoću a, b i c kao osnovnih pravaca pramena;
(ii) Odredite sjecišta A,B,C,D pravaca a,b,c,d redom s
pravcem s[1:1:1].
(iii) Izračunajte dvoomjere R(AB,CD) i R(BA,CD).
Usporedite rezultate podzadataka (i) i (iii). Kakav bi se ishod
mogao očekivati ako bi se umjesto zadanog pravca s uzeo
neki općeniti pravac [u : v : w] uz u+v+w različito od 0?
5. (Bonus zadatak - nosi do 8 bodova povrh bodova ostvarenih
na zadacima 1.-4., koji nose do ukupno 35 bodova)
Postoji li projektivna ravnina u kojoj je svaka četvorka
kolinearnih točaka harmonička četvorka (uz uobičajenu
definiciju harmoničke četvorke)? Koliko bi točaka i pravaca
imala takva projektivna ravnina? Kakva bi bila algebarska
interpretacija?
Napomene:
2. zadatak možete rješavati analitički, 3. možete rješavati
kao zadatak iz afine geometrije (nije nužno euklidska, a
može se primjenjivati djelišni omjer). U 3. zadatku uzima
se da su dvije [i]zadane[/i] konkurentne trojke paralelni pravci,
a trojka na koju se odnosi tvrdnja treba biti konkurentna,
ali ne istog smjera tj. ne tvrdi se da su i ta tri pravca
paralelna.
U pretpostavkama da u ravnini vrijede i Desarguesov i Pappusov
teorem zapravo je suvišna ova o Desarguesovom teoremu,
jer taj slijedi iz Pappusovog, no ovdje je to bilo navedeno
budući da se do tog kolokvija nije iznio dokaz kako iz
Pappusovog slijedi Desarguesov.
Rješenje 5. zadatka komentirano je u postu na ovom forumu
nakon kolokvija iz 2016. (lako je naći na ovoj stranici).
Evo i zadataka s kolokvija od 6. prosinca 2017.
Slijede komentari o rješavanju, pogotovo stoga što se u 2. i 3.
zadatku spominje Pappusov teorem, a njime se zasad ne
služimo (svakako ne na 1. kolokviju).
1. Opišite kako se proširivanjem euklidske ravnine dobiva
projektivna ravnina. Dokažite da je dobivena incidencijska
struktura projektivna ravnina.
2. (Za projektivnu ravninu u kojoj vrijede Desarguesov i
Pappusov teorem)
Neka su A, B, C, D, E i F različite točke, takve da su AB, CD
i EF različiti pravci, konkurentni (prolaze jednom točkom).
Dokažite tvrdnju: ako su pravci AC, BF i DE konkurentni,
onda su i pravci AE, BD i CF konkurentni.
3. Tvrdnju 2. zadatka ilustrirajte u proširenoj euklidskoj
ravnini za posebni slučaj kad su trojke konkurentnih
pravaca međusobno paralelni pravci (različitih smjerova za
pojedine trojke). Primijenite dualni teorem Pappusovog
teorema kako biste riješili taj slučaj. (Rješenje se prihvaća
neovisno o rješavanju 2. zadatka).
4. (Za realnu projektivnu ravninu)
Zadani su pravci a[0:1:-1], b[1:0:-1], c[1:-3:2] i d[2:-1:-1]
pramena pravaca kroz točku T(1:1:1).
(i) Izrazite d pomoću a, b i c kao osnovnih pravaca pramena;
(ii) Odredite sjecišta A,B,C,D pravaca a,b,c,d redom s
pravcem s[1:1:1].
(iii) Izračunajte dvoomjere R(AB,CD) i R(BA,CD).
Usporedite rezultate podzadataka (i) i (iii). Kakav bi se ishod
mogao očekivati ako bi se umjesto zadanog pravca s uzeo
neki općeniti pravac [u : v : w] uz u+v+w različito od 0?
5. (Bonus zadatak - nosi do 8 bodova povrh bodova ostvarenih
na zadacima 1.-4., koji nose do ukupno 35 bodova)
Postoji li projektivna ravnina u kojoj je svaka četvorka
kolinearnih točaka harmonička četvorka (uz uobičajenu
definiciju harmoničke četvorke)? Koliko bi točaka i pravaca
imala takva projektivna ravnina? Kakva bi bila algebarska
interpretacija?
Napomene:
2. zadatak možete rješavati analitički, 3. možete rješavati
kao zadatak iz afine geometrije (nije nužno euklidska, a
može se primjenjivati djelišni omjer). U 3. zadatku uzima
se da su dvije zadane konkurentne trojke paralelni pravci,
a trojka na koju se odnosi tvrdnja treba biti konkurentna,
ali ne istog smjera tj. ne tvrdi se da su i ta tri pravca
paralelna.
U pretpostavkama da u ravnini vrijede i Desarguesov i Pappusov
teorem zapravo je suvišna ova o Desarguesovom teoremu,
jer taj slijedi iz Pappusovog, no ovdje je to bilo navedeno
budući da se do tog kolokvija nije iznio dokaz kako iz
Pappusovog slijedi Desarguesov.
Rješenje 5. zadatka komentirano je u postu na ovom forumu
nakon kolokvija iz 2016. (lako je naći na ovoj stranici).
|
