|
Nastavak primjera i zadataka povezanih sa zadnjim
predavanjima
[b]1. [/b]Dokažite tvrdnju: Ako su dva trovrha upisana konici,
njihovih 6 stranica čine šesterostran opisan jednoj konici,
tj. postoji konika kojoj su svih tih 6 pravaca tangente.
Rješenje: Tvrdnja je, između ostalog, zanimljiva po tome
što se u dokazu primjenjuju i Pascalov teorem i njegov dual,
Brianchonov teorem i to u ˝različitim smjerovima˝.
Označimo vrhove trovrha s A1 A2 A3 i A4 A5 A6.
Po Pascalovom teoremu kolinearne su točke
P = A1A2 x A4A5, Q = A2A3 x A5A6 i R = A3A4 x A6A1.
Nadalje, označimo stranice trovrha ovako (važna je prikladna numeracija):
A1A2 = b1, A2A3 = b5, A3A1 = b6 te A4A5 = b2,
A6A4 = b3, A5A6 = b4.
Provjerimo da za ovih 6 pravaca vrijedi dovoljan uvjet, po Brianchonovom teoremu,
kako bi činili šesterostran opisan jednoj konici.
(b1 x b2)(b4 x b5) = PQ, (b2xb3)(b5xb6) = A4A3,
(b3xb4)(b6xb1) = A6A1.
Kako je A4A3 x A6A1 = R, a P, Q i R su kolinearne,
tvrdnja je dokazana.
[b]2.[/b] Neka je trostran abc opisan konici. Tada spojnice njegovih vrhova
s diralištima suprotnih stranica prolaze jednom točkom. Dokažite.
Rješenje: (Skicirajte zadanu figuru).
Stranice trostrana označimo tako da su to stranice
šesterostrana pri čemu se po dva ˝konsekutivna˝ pravca
podudaraju kao jedna tangenta konike, a granični položaji
njihovih sjecišta su dirališta tih tangenti.
To znači da npr. a = a1 = a2, b = a5 = a6, c = a3 = a4.
Označimo a x b = C, b x c = A i c x a=B.
Tada je (a1 x a2)(a4 x a5) = A' A,
(a2 x a3)(a5 x a6) = BB' i (a3 x a4)(a6 x a1) = C'C,
pri čemu su A', B' i C' redom dirališta
tangenti a, b, c.
Po Brianchonovom teoremu pravci AA', BB' i CC' prolaze
jednom točkom, što je i trebalo dokazati.
[b]3.[/b] Primijenite tvdnju 2. zadatka i njoj dualnu tvrdnju na
trokute i kružnice u euklidskoj ravnini.
Dokažite analitički dualnu tvrdnju 2. zadatka u PG(2,[b]R[/b]).
[b]4.[/b] U proširenoj euklidskoj ravnini centar (središte) nesingularne
konike definira se kao pol neizmjerno dalekog pravca u polaritetu određnom tom konikom.
Uvjerite se da je ta definicija u skladu s poznatim pojmom
središta elipse i hiperbole. Izračunajte središte konike u PG(2,[b]R[/b])
zadane jednadžbom
x0 x1 + x1 x2 + x2 x0 = 0
[b]5. [/b]Dokažite da su konike
x0 x1 + x1 x2 + x2 x0 = 0
i
x0x1 – x2^2 = 0
projektivno ekvivalentne, ali nisu afino ekvivalentne.
(Pri uspostavljanju projektivne ekvivalencije možete
slijediti pristup u dokazu s predavanja kojim je
jednadžba konike dobivena u obliku jedne od dviju zadanih,
str. 180-181, sl. 106 kod D. Palmana).
[b]6.[/b] Zadajte koordinatama po volji u PG(2, [b]R[/b]) tri nekolinearne
točke A, B, C i dva različita pravca a (kroz A) i b (kroz B)
koji ne prolaze točkom C. Odredite jednadžbu konike
koja prolazi zadanim točkama, a zadani pravci su joj
tangente u zadanim točkama.
Konstruirajte samo pomoću ravnala tangentu u točki C,
ako su A, B, C, a i b zadani kako je navedeno.
Nastavak primjera i zadataka povezanih sa zadnjim
predavanjima
1. Dokažite tvrdnju: Ako su dva trovrha upisana konici,
njihovih 6 stranica čine šesterostran opisan jednoj konici,
tj. postoji konika kojoj su svih tih 6 pravaca tangente.
Rješenje: Tvrdnja je, između ostalog, zanimljiva po tome
što se u dokazu primjenjuju i Pascalov teorem i njegov dual,
Brianchonov teorem i to u ˝različitim smjerovima˝.
Označimo vrhove trovrha s A1 A2 A3 i A4 A5 A6.
Po Pascalovom teoremu kolinearne su točke
P = A1A2 x A4A5, Q = A2A3 x A5A6 i R = A3A4 x A6A1.
Nadalje, označimo stranice trovrha ovako (važna je prikladna numeracija):
A1A2 = b1, A2A3 = b5, A3A1 = b6 te A4A5 = b2,
A6A4 = b3, A5A6 = b4.
Provjerimo da za ovih 6 pravaca vrijedi dovoljan uvjet, po Brianchonovom teoremu,
kako bi činili šesterostran opisan jednoj konici.
(b1 x b2)(b4 x b5) = PQ, (b2xb3)(b5xb6) = A4A3,
(b3xb4)(b6xb1) = A6A1.
Kako je A4A3 x A6A1 = R, a P, Q i R su kolinearne,
tvrdnja je dokazana.
2. Neka je trostran abc opisan konici. Tada spojnice njegovih vrhova
s diralištima suprotnih stranica prolaze jednom točkom. Dokažite.
Rješenje: (Skicirajte zadanu figuru).
Stranice trostrana označimo tako da su to stranice
šesterostrana pri čemu se po dva ˝konsekutivna˝ pravca
podudaraju kao jedna tangenta konike, a granični položaji
njihovih sjecišta su dirališta tih tangenti.
To znači da npr. a = a1 = a2, b = a5 = a6, c = a3 = a4.
Označimo a x b = C, b x c = A i c x a=B.
Tada je (a1 x a2)(a4 x a5) = A' A,
(a2 x a3)(a5 x a6) = BB' i (a3 x a4)(a6 x a1) = C'C,
pri čemu su A', B' i C' redom dirališta
tangenti a, b, c.
Po Brianchonovom teoremu pravci AA', BB' i CC' prolaze
jednom točkom, što je i trebalo dokazati.
3. Primijenite tvdnju 2. zadatka i njoj dualnu tvrdnju na
trokute i kružnice u euklidskoj ravnini.
Dokažite analitički dualnu tvrdnju 2. zadatka u PG(2,R).
4. U proširenoj euklidskoj ravnini centar (središte) nesingularne
konike definira se kao pol neizmjerno dalekog pravca u polaritetu određnom tom konikom.
Uvjerite se da je ta definicija u skladu s poznatim pojmom
središta elipse i hiperbole. Izračunajte središte konike u PG(2,R)
zadane jednadžbom
x0 x1 + x1 x2 + x2 x0 = 0
5. Dokažite da su konike
x0 x1 + x1 x2 + x2 x0 = 0
i
x0x1 – x2^2 = 0
projektivno ekvivalentne, ali nisu afino ekvivalentne.
(Pri uspostavljanju projektivne ekvivalencije možete
slijediti pristup u dokazu s predavanja kojim je
jednadžba konike dobivena u obliku jedne od dviju zadanih,
str. 180-181, sl. 106 kod D. Palmana).
6. Zadajte koordinatama po volji u PG(2, R) tri nekolinearne
točke A, B, C i dva različita pravca a (kroz A) i b (kroz B)
koji ne prolaze točkom C. Odredite jednadžbu konike
koja prolazi zadanim točkama, a zadani pravci su joj
tangente u zadanim točkama.
Konstruirajte samo pomoću ravnala tangentu u točki C,
ako su A, B, C, a i b zadani kako je navedeno.
|
