|
Promatranje pramena konika može se primijeniti i za dokaz
[b]Pascalovog teorema. [/b]
Neka je šesterovrh ABCDEF upisan konici. Tada su sjecišta
suprotnih stranica kolinearne točke, dakle
AB x DE = K, BC x EF = L i CD x FA = M su kolinearne.
Uzmimo pramenove konika s temeljnim točkama ABEF,
odnosno BCDE. Za osnovne konike pramena izabiremo
singularne konike, zadane kao par pravaca, a njihove jednadžbe
pisat ćemo jednostavno pomoću produkta pravaca.
Osim stranica šesterovrha trebat će nam još i pravac BE.
Prvi pramen: AB EF + λ AF BE = 0.
Drugi pramen: BC DE + μ CD BE = 0.
Budući da konika prolazi kroz svih 6 točaka, ona pripada
i jednom i drugom pramenu, tako da postoje vrijednosti
parametara za koje
AB EF + λ AF BE = BC DE + μ CD BE.
Odatle slijedi: AB EF - BC DE = - λ AF BE + μ CD BE =
(- λ AF + μ CD) BE.
Konika (- λ AF + μ CD) BE = 0 je singularna, jer je produkt
pravca BE i jednog pravca koji prolazi sjecištem pravaca AF i CD,
a to je točka M.
Zato je i AB EF - BC DE = 0 singularna konika. Toj konici pripada
točka K, jer se nalazi na pravcima AB i DE, a također i točka L
jer se u njoj sijeku EF i BC.
No, pravac BE dio je te singularne konike. Točke K i L ne pripadaju
pravcu BE, tako da se ova konika sastoji od pravaca KL i BE.
Dakle, točka M pripada toj konici, ali nije na pravcu BE pa
pripada pravcu KL.
Time je teorem dokazan. U ovom pristupu primjenjuju se metode
algebarske geometrije. Npr. u kolegiju Algebarske krivulje
izvodi se Pascalov teorem kao posljedica [i]Cayley-Bacharachovog[/i]
[i]teorema [/i]koji se odnosi na pramenove kubika (algebarskih krivulja
3. stupnja) pa se (reducibilna) kubika čije komponente su
konika kroz A,B,C,D,E,F i pravac KL promatra kao kubika
iz pramena određenog singularnim kubikama AB CD EF = 0 i
BC DE FA = 0.
(v. npr. odjeljak 1.6. u
/www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/WS0809/GeometrieKalkueleWS0809/ch1.pdf)
[i]Na kraju još jedna napomena u vezi s prethodnim postom
o pramenovima konika i Desarguesovim teoremom o involuciji.[/i]
Može se primijetiti, premda nije jasno istaknuto, da analitički
dokaz teorema o involuciji kakav sam tamo naveo nije općenit,
jer izbor koordinata nije bio izravno primjenjiv na opću situaciju.
(Pravac kojim se presjekao pramen prolazio je kroz dvije
dijagonalne točke temeljnog četverovrha), No, to pojednostavljenje
izabrano je radi preglednosti računa i rezultata, a lako se provede
i stvarno općeniti dokaz, u kojem pravac neće prolaziti kroz
dvije fiksne točke involucije inducirane na njemu konikama pramena.
Promatranje pramena konika može se primijeniti i za dokaz
Pascalovog teorema.
Neka je šesterovrh ABCDEF upisan konici. Tada su sjecišta
suprotnih stranica kolinearne točke, dakle
AB x DE = K, BC x EF = L i CD x FA = M su kolinearne.
Uzmimo pramenove konika s temeljnim točkama ABEF,
odnosno BCDE. Za osnovne konike pramena izabiremo
singularne konike, zadane kao par pravaca, a njihove jednadžbe
pisat ćemo jednostavno pomoću produkta pravaca.
Osim stranica šesterovrha trebat će nam još i pravac BE.
Prvi pramen: AB EF + λ AF BE = 0.
Drugi pramen: BC DE + μ CD BE = 0.
Budući da konika prolazi kroz svih 6 točaka, ona pripada
i jednom i drugom pramenu, tako da postoje vrijednosti
parametara za koje
AB EF + λ AF BE = BC DE + μ CD BE.
Odatle slijedi: AB EF - BC DE = - λ AF BE + μ CD BE =
(- λ AF + μ CD) BE.
Konika (- λ AF + μ CD) BE = 0 je singularna, jer je produkt
pravca BE i jednog pravca koji prolazi sjecištem pravaca AF i CD,
a to je točka M.
Zato je i AB EF - BC DE = 0 singularna konika. Toj konici pripada
točka K, jer se nalazi na pravcima AB i DE, a također i točka L
jer se u njoj sijeku EF i BC.
No, pravac BE dio je te singularne konike. Točke K i L ne pripadaju
pravcu BE, tako da se ova konika sastoji od pravaca KL i BE.
Dakle, točka M pripada toj konici, ali nije na pravcu BE pa
pripada pravcu KL.
Time je teorem dokazan. U ovom pristupu primjenjuju se metode
algebarske geometrije. Npr. u kolegiju Algebarske krivulje
izvodi se Pascalov teorem kao posljedica Cayley-Bacharachovog
teorema koji se odnosi na pramenove kubika (algebarskih krivulja
3. stupnja) pa se (reducibilna) kubika čije komponente su
konika kroz A,B,C,D,E,F i pravac KL promatra kao kubika
iz pramena određenog singularnim kubikama AB CD EF = 0 i
BC DE FA = 0.
(v. npr. odjeljak 1.6. u
/www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/WS0809/GeometrieKalkueleWS0809/ch1.pdf)
Na kraju još jedna napomena u vezi s prethodnim postom
o pramenovima konika i Desarguesovim teoremom o involuciji.
Može se primijetiti, premda nije jasno istaknuto, da analitički
dokaz teorema o involuciji kakav sam tamo naveo nije općenit,
jer izbor koordinata nije bio izravno primjenjiv na opću situaciju.
(Pravac kojim se presjekao pramen prolazio je kroz dvije
dijagonalne točke temeljnog četverovrha), No, to pojednostavljenje
izabrano je radi preglednosti računa i rezultata, a lako se provede
i stvarno općeniti dokaz, u kojem pravac neće prolaziti kroz
dvije fiksne točke involucije inducirane na njemu konikama pramena.
|
