|
Zasad evo zadataka, a za sat-dva rezultati i rješenja/upute.
[b]Zadaci s 2. kolokvija[/b]
1. U involutornom projektivitetu na pravcu, zadanom međusobno
pridruženim točkama A i A' te B i B' , neke točke X i Y čine
pridruženi par ako i samo ako postoji (hiperbolički) projektivitet:
XYAB' -^- XYBA'. Dokažite ovu tvrdnju. (7 bodova)
2. Za četverovrh ABCD neka su dijagonalne točke označene
s AB x CD = S,AC x BD = V i AD x BC = W.
Projektivitet s pravca AB na pravac CD zadan je tako da se točke
A, B, S preslikavaju redom u S, C, D. Konstruirajte sliku točke
Y = AB x VW u tom projektivitetu. Konstruirajte sliku neke točke
X na AB koja je različita od A, B, S i Y. (7 bodova)
3. Trovrh ABC opisan je nesingularnoj konici, tj. pravci
AB, BC i CA su tangente jedne konike. Neka je M diralište
tangente BC, a N diralište tangente CA.
(a) Dokažite da je tada točka P na pravcu AB diralište te tangente
ako i samo ako su pravci AM, BN i CP konkurentni.
(b) Ako je konika zadana pomoću tri svoje tangente i diralištima na
dvjema od njih, konstruirajte diralište treće tangente.
(c) Uz oznake kao u (a), konstruirajte drugo sjecište pravca AM s konikom.
(11 bodova)
4. Proširena euklidska ravnina koordinatizirana je na uobičajeni način
homogenim koordinatama, pri čemu je x0 = 0 "neizmjerno daleki pravac".
Promatra se skup svih konika koje prolaze točkama s afinim
koordinatama (1,0), (0,1), (-1,0) i (0,-1).
(a) Ima li u tom skupu (pramenu) nekih nesingularnih konika koje su,
afino gledano, elipsa, parabola, hiperbola?
(b) Postoji li u tom skupu nesingularna konika koja se preslikava
sama u sebe pri djelovanju projektivne transformacije zadane tako
da se (1,0), (0,1), (-1,0) i (0,-1) ciklički preslikavaju (prva u drugu,...,
četvrta u prvu)?
(10 bodova)
5. (Dodatni zadatak, donosi do 8 bodova povrh bodova za zadatke 1.-4.)
Projektivna transformacija realne projektivne ravnine ima barem jednu
fiksnu točku. Neka je φ projektivna transformacija koja ima fiksnu
točku T takvu da na svakom pravcu kroz T, osim jednog, φ inducira
parabolički projektivitet.
Ispitajte je li φ nužno elacija.
Zasad evo zadataka, a za sat-dva rezultati i rješenja/upute.
Zadaci s 2. kolokvija
1. U involutornom projektivitetu na pravcu, zadanom međusobno
pridruženim točkama A i A' te B i B' , neke točke X i Y čine
pridruženi par ako i samo ako postoji (hiperbolički) projektivitet:
XYAB' -^- XYBA'. Dokažite ovu tvrdnju. (7 bodova)
2. Za četverovrh ABCD neka su dijagonalne točke označene
s AB x CD = S,AC x BD = V i AD x BC = W.
Projektivitet s pravca AB na pravac CD zadan je tako da se točke
A, B, S preslikavaju redom u S, C, D. Konstruirajte sliku točke
Y = AB x VW u tom projektivitetu. Konstruirajte sliku neke točke
X na AB koja je različita od A, B, S i Y. (7 bodova)
3. Trovrh ABC opisan je nesingularnoj konici, tj. pravci
AB, BC i CA su tangente jedne konike. Neka je M diralište
tangente BC, a N diralište tangente CA.
(a) Dokažite da je tada točka P na pravcu AB diralište te tangente
ako i samo ako su pravci AM, BN i CP konkurentni.
(b) Ako je konika zadana pomoću tri svoje tangente i diralištima na
dvjema od njih, konstruirajte diralište treće tangente.
(c) Uz oznake kao u (a), konstruirajte drugo sjecište pravca AM s konikom.
(11 bodova)
4. Proširena euklidska ravnina koordinatizirana je na uobičajeni način
homogenim koordinatama, pri čemu je x0 = 0 "neizmjerno daleki pravac".
Promatra se skup svih konika koje prolaze točkama s afinim
koordinatama (1,0), (0,1), (-1,0) i (0,-1).
(a) Ima li u tom skupu (pramenu) nekih nesingularnih konika koje su,
afino gledano, elipsa, parabola, hiperbola?
(b) Postoji li u tom skupu nesingularna konika koja se preslikava
sama u sebe pri djelovanju projektivne transformacije zadane tako
da se (1,0), (0,1), (-1,0) i (0,-1) ciklički preslikavaju (prva u drugu,...,
četvrta u prvu)?
(10 bodova)
5. (Dodatni zadatak, donosi do 8 bodova povrh bodova za zadatke 1.-4.)
Projektivna transformacija realne projektivne ravnine ima barem jednu
fiksnu točku. Neka je φ projektivna transformacija koja ima fiksnu
točku T takvu da na svakom pravcu kroz T, osim jednog, φ inducira
parabolički projektivitet.
Ispitajte je li φ nužno elacija.
|
