|
Komentar 1. testa iz LA 1 (12.4.2018.)
1. zadatak s algebarskom strukturom ([b]Q[/b],+,*) zapravo
je (olakšana) varijanta 2. zadatka iz 2. domaće zadaće.
Tamo je ˝nestandardno˝ množenje * bilo
zadano s x * y = 2xy, a skup je bio [b]Q[/b](sqrt(3)). U testu su bile
zadane varijacije oblika x * y = axy, za neke vrijednosti a iz [b]Q[/b],
različite od 0. (a = 5, 1/5, 1/3, -2, -1/2).
Zaključak je u svakom slučaju jednak: ([b]Q[/b],+,*) je (komutativni)
prsten s jedinicom pa zatim i polje. Neutralni element za * je 1/a,
a inverzni element (za operaciju *) elementa x različitog
od 0 je 1/(a^2 x).
Činjenica da je ([b]Q[/b],+) Abelova grupa samo se navede kao poznata,
može i po pojedinačnim svojstvima, dok se sva svojstva u
kojima se pojavljuje * trebaju dokazati (koliko god ta
provjera bila jednostavna).
Neke češće pogreške u testovima:
- [i]struktura nije polje jer 0 nema inverzni element za operaciju[/i] * -
za polje se niti ne traži takvo svojstvo, jer u svakom prstenu
vrijedi a0 = 0a = 0 za svaki element pa 0 nikad nije invertibilan
element (inače polje općenito ne bi ni postojalo, kao npr. polja
[b]Q[/b], [b]R[/b] ili [b]C[/b] sa standardnim operacijama)
- [i]struktura jest prsten, ali nije prsten s jedinicom jer racionalni broj 1 [/i] (dakle,
„doslovno“ jedinica)[i] nije neutralni element za operaciju[/i] *
([i]jedinica[/i] je samo uobičajeni kratki naziv za neutralni
element za množenje u prstenu,
što uopće ne mora biti broj, ovisno o strukturi, nego npr. funkcija ili matrica)
- potpuno izostavljanje svojstva distributivnosti (u navođenju
svojstava iz definicije strukture), a to je bitan propust kod prstena i polja
- različite pogreške u provjeravanju zatvorenosti odnosno
pisanju elemenata strukture: npr. neki su elemente
pisali u obliku zbroja, kao x = a+b itd bez ikakvog
razloga, budući da je riječ jednostavno o racionalnim
brojevima,
a nekolicina je za zatvorenost (kod operacije *) umjesto x*y
uzimala oblik a*x + b*y (nešto kao „linearnu kombinaciju“, pogrešno)
- pojam nasljeđivanja pojedinog svojstva katkad je pogrešno primjenjivan,
naime nasljeđuju se (izravno) svojstva
iste operacije (kao funkcije) njezinom restrikcijom na podskup,
a to nije isto kao (lagani) dokaz nekog svojstva kad se
izrazi operacija * pomoću standardnog množenja
(kao npr. kod asocijativnost i distributivnosti);
nije tretirano kao propust/pogreška ako je napisano ( kao u
nekoliko testova)
da se neka svojstva [i]nasljeđuju, odnosno provjera se svodi na
svojstva standardnih operacija[/i], kad se vidi da je to napisano s razumijevanjem.
Komentar 1. testa iz LA 1 (12.4.2018.)
1. zadatak s algebarskom strukturom (Q,+,*) zapravo
je (olakšana) varijanta 2. zadatka iz 2. domaće zadaće.
Tamo je ˝nestandardno˝ množenje * bilo
zadano s x * y = 2xy, a skup je bio Q(sqrt(3)). U testu su bile
zadane varijacije oblika x * y = axy, za neke vrijednosti a iz Q,
različite od 0. (a = 5, 1/5, 1/3, -2, -1/2).
Zaključak je u svakom slučaju jednak: (Q,+,*) je (komutativni)
prsten s jedinicom pa zatim i polje. Neutralni element za * je 1/a,
a inverzni element (za operaciju *) elementa x različitog
od 0 je 1/(a^2 x).
Činjenica da je (Q,+) Abelova grupa samo se navede kao poznata,
može i po pojedinačnim svojstvima, dok se sva svojstva u
kojima se pojavljuje * trebaju dokazati (koliko god ta
provjera bila jednostavna).
Neke češće pogreške u testovima:
- struktura nije polje jer 0 nema inverzni element za operaciju * -
za polje se niti ne traži takvo svojstvo, jer u svakom prstenu
vrijedi a0 = 0a = 0 za svaki element pa 0 nikad nije invertibilan
element (inače polje općenito ne bi ni postojalo, kao npr. polja
Q, R ili C sa standardnim operacijama)
- struktura jest prsten, ali nije prsten s jedinicom jer racionalni broj 1 (dakle,
„doslovno“ jedinica) nije neutralni element za operaciju *
(jedinica je samo uobičajeni kratki naziv za neutralni
element za množenje u prstenu,
što uopće ne mora biti broj, ovisno o strukturi, nego npr. funkcija ili matrica)
- potpuno izostavljanje svojstva distributivnosti (u navođenju
svojstava iz definicije strukture), a to je bitan propust kod prstena i polja
- različite pogreške u provjeravanju zatvorenosti odnosno
pisanju elemenata strukture: npr. neki su elemente
pisali u obliku zbroja, kao x = a+b itd bez ikakvog
razloga, budući da je riječ jednostavno o racionalnim
brojevima,
a nekolicina je za zatvorenost (kod operacije *) umjesto x*y
uzimala oblik a*x + b*y (nešto kao „linearnu kombinaciju“, pogrešno)
- pojam nasljeđivanja pojedinog svojstva katkad je pogrešno primjenjivan,
naime nasljeđuju se (izravno) svojstva
iste operacije (kao funkcije) njezinom restrikcijom na podskup,
a to nije isto kao (lagani) dokaz nekog svojstva kad se
izrazi operacija * pomoću standardnog množenja
(kao npr. kod asocijativnost i distributivnosti);
nije tretirano kao propust/pogreška ako je napisano ( kao u
nekoliko testova)
da se neka svojstva nasljeđuju, odnosno provjera se svodi na
svojstva standardnih operacija, kad se vidi da je to napisano s razumijevanjem.
|
