|
Prvi zadatak u obje varijante odnosi se na grupu koju čine tri
(različita) kompleksna broja s obzirom na standardno množenje
kompleksnih brojeva. Onima kojima su dobro poznati primjeri
grupa s predavanja i iz skripti može odmah biti jasno da tu
grupu člne treći korijeni iz jednice, dakle ona tri kompleksna
broja za koje vrijedi z^3 = 1.
To su 1, -1/2 + i sqrt(3)/2 , -1/2 - i sqrt(3)/2
ili, drukčije, 1, cos(2pi/3) + i sin(2pi/3), cos(2pi/3) - i sin (2pi/3).
No, ako se to i ne zna unaprijed, nije teško izračunati.
Radi olakšanja zadano je da su dva od tri tražena broja kompleksno
konjugirani. Budući da se broj 1 mora naći u toj grupi, kao neutralni
element, on mora biti jednak onom trećem elementu (inače bi
ovi konjugirano kompleksni bili realni pa bi se podudarali - oba bi
bila jednaka 1).
Neka su a+bi, a-bi preostala dva elementa. Njihov umnožak mora biti
jednak trećem, to jest 1, budući da taj umnožak ne može biit jednak
jednom od njih (opet zato što su to dva različita broja).
Dobivamo a^2 + b^2 = 1, dakle to su kompleksni brojevi modula 1,
a kako se u grupi za svaki element mora nalaziti i njegov inverzni
(za množenje), a +bi, a-bi međusobno su inverzni.
Nadalje, (a+bi)^2 mora se nalaziti u grupi i to mora biti jednako
a-bi (opet zbog različitosti tri elementa), a onda se iz te jednakosti
lako izračuna da je a = -1/2, zatim b = sqrt(3)/2.
Kad znamo ova tri elementa, iz tablice množenja (ako je uopće
potrebno) vidi se da čine grupu.
U drugoj varijanti bilo je zadano da uz dva konjugirano kompleksna
broja treći element jednak je negativnom zboju prva dva, a to znači
-2 a. Stoga mora biti -2a = 1, itd.
Prvi zadatak u obje varijante odnosi se na grupu koju čine tri
(različita) kompleksna broja s obzirom na standardno množenje
kompleksnih brojeva. Onima kojima su dobro poznati primjeri
grupa s predavanja i iz skripti može odmah biti jasno da tu
grupu člne treći korijeni iz jednice, dakle ona tri kompleksna
broja za koje vrijedi z^3 = 1.
To su 1, -1/2 + i sqrt(3)/2 , -1/2 - i sqrt(3)/2
ili, drukčije, 1, cos(2pi/3) + i sin(2pi/3), cos(2pi/3) - i sin (2pi/3).
No, ako se to i ne zna unaprijed, nije teško izračunati.
Radi olakšanja zadano je da su dva od tri tražena broja kompleksno
konjugirani. Budući da se broj 1 mora naći u toj grupi, kao neutralni
element, on mora biti jednak onom trećem elementu (inače bi
ovi konjugirano kompleksni bili realni pa bi se podudarali - oba bi
bila jednaka 1).
Neka su a+bi, a-bi preostala dva elementa. Njihov umnožak mora biti
jednak trećem, to jest 1, budući da taj umnožak ne može biit jednak
jednom od njih (opet zato što su to dva različita broja).
Dobivamo a^2 + b^2 = 1, dakle to su kompleksni brojevi modula 1,
a kako se u grupi za svaki element mora nalaziti i njegov inverzni
(za množenje), a +bi, a-bi međusobno su inverzni.
Nadalje, (a+bi)^2 mora se nalaziti u grupi i to mora biti jednako
a-bi (opet zbog različitosti tri elementa), a onda se iz te jednakosti
lako izračuna da je a = -1/2, zatim b = sqrt(3)/2.
Kad znamo ova tri elementa, iz tablice množenja (ako je uopće
potrebno) vidi se da čine grupu.
U drugoj varijanti bilo je zadano da uz dva konjugirano kompleksna
broja treći element jednak je negativnom zboju prva dva, a to znači
-2 a. Stoga mora biti -2a = 1, itd.
|
