2. test - rješenje 1. zadatka

[Juraj Siftar]

1. zadatak

Linearni operator A: V3(O) → V3(O) zadan je kao kompozicija dva
(dobro poznata)
geometrijska operatora. To su, u različitim kombinacijama,
ortogonalna projekcija na 1-dim. potprostor,
ortogonalna projekcija na 2-dim. potprostor, zrcaljenje s obzirom na 1-dim.
ili na 2- dim. potprostor.
Radi jednostavnijeg objašnjavanja ove tipove operatora
označit ću redom s P1, P2, Z1 i Z2.

Zadatak je tipa 3. iz 6. zadaće, povezan također s 2., 4. i 7. zadatkom
iz 7. zadaće.

Korisno je uočiti da se u svakoj varijanti može i bez računanja
izravno zaključiti koliki je rang i defekt kompozicije.
To svakako pomaže za provjeru rezultata dobivenih računanjem
eksplicitnog oblika djelovanja operatora tj. matrice.
Zrcaljenja su bijekcije (izomorfizmi) pa ne mijenjaju dimenziju (pot)prostora.
Također, primjerice, ako se unaprijed zna da je rang operatora 1,
onda se iz bilo kojeg nenul-stupca matrice izravno pročita vektor
baze slike, a ne treba ispitivati linearnu zavisnost stupaca.

Primjerice, u kompoziciji oblika A = Z2 o P2 očito je r(A) = 2, d(A) = 1.
Nadalje, za A = P2 o P1 rang može biti samo 1 ili 0,
ovo drugo u slučaju da je pravac ortogonalan na ravninu
(što u konkretnom zadatku nije, a inače bi kompozicija bila nuloperator).
Zatim, za A = Z1 o P1 mora biti r(A) = 1, d(A) = 2.
Za A = P1 o Z2 je r(A) = 1, d(A) = 2. Isto za A = Z2 o P1.

Podzadatak da se odredi praslika nekog jednočlanog skupa
(jedini vektor je i, j ili k) u većini slučajeva je trivijalan kad se ima
baza slike, naime kad god je to 1-dim. potprostor jer je očito
pripada li zadani vektor slici ili ne. Primjerice, vektor k očito se
ne nalazi u potprostoru [ i + j - k ].
Postavljanje i rješavanje jednadžbe oblika A (x,y,z) = (0,0,1)
korektno je, ali suvišno kompliciranje, a bilo je i brojnih pogrešaka
u rješavanju (to jest, u rješavanju tog sustava od
3 jednadžbe s 3 nepoznanice).

Za “glavni” dio – određivanje matrice operatora treba, naravno,
nešto i računati,
a račun se može skratiti razumijevanjem što se radi, jer, primjerice,
sva zadana zrcaljenja bila su jednostavna i mogu se izračunati
napamet ili uz skicu.
Zrcaljenje s obzirom na potprostor [i] Z1(x,y,z) = (x,-y,-z).
zrcaljenje s obzirom na [ i, j] Z2(x,y,z) = (x,y,-z),
a za [i,k] Z2(x,y,z) = (x,-y, z).


Bilo je dosta pogrešaka i s takvim operatorima.

Navest ću još matrice za zadane operatore (sve u ONB bazi (i, j, k)).
Matrice su napisane po stupcima.

(i) A = Z2 o P2,

P2 na [ i+j, -j+k], Z2 na [ i, j ].

[A ] = 1/3 [ 2 1 -1 // 1 2 1 // 1 -1 -2 ]

Ovdje se i bez matrice izravno vidi da je Im A = [ i+j, j+k ], što je jednako
[ 2i + j – k, i + 2j + k] iz prva dva stupca matrice.

(ii) A = P2 o P1,

P1 na [½ i - ¼ k], P2 na [ i – j, k ].

Ovdje nitko nije za prvi potprostor [½ i - ¼ k] uzeo
[2 i – k] kako bi se izbjegli
razlomci, što je očito olakšanje računa.

[A ] = 1/5 [ 2 -2 -2 // 0 0 0 // -1 1 1 ]


(iii) A = Z1 o P1,

P1 na [ 2i – 2j + k], Z1 na [ i ].

Ovdje se i bez matrice vidi da je Im a = [ 2i + 2j – k].

[A ] = 1/9 [ 4 4 -2 // -4 -4 2 // 2 2 -1 ]


(iv) A = P1 o Z2,

Z2 na [ i, k ], P1 na [2i – 3 j + k].

Ovdje je odmah Im A = [2i – 3j + k].

[A ] = 1/14 [ 4 -6 2 // -6 9 -3 // 2 -3 1 ]


(v) A = Z2 o P1,

P1 na [-4j + 3k ], Z2 na [ i, j ].

Ovdje je odmah Im A = [4 j + 3k].

[A ] = 1/25 [ 0 0 0 // 0 16 12 // 0 -12 -9 ]