|
Evo rješenja zadataka s 2. i 3. dodatnog testa,
možda će biti od koristi za pripremu za kolokvij
(i, dakako, za one koji su pisali testove).
[b]2. TEST[/b]
[b]1.[/b] U unitarnom prostoru R4 sa standardnim skalarnim
množenjem zadan je potprostor L = { (x1, x2, x3, x4): x3 = x4}.
Odredite ortogonalnu projekciju vektora v = (a,b,c,d)
na potprostor L i udaljenost d(v, L).
[b]2.[/b] Preslikavanje A: P3(R) → P2(R) zadano je s
(Ap)(t) = p'(t) - p'(t + 1).
Dokažite da je A linearni operator, napišite njegovu matricu
u paru kanonskih baza, ispitajte je li A epimorfizam te
odredite prasliku potprostora [ t ].
Rješenja.
1. Projekcija v na L : (a,b, (c+d)/2, (c+d)/2)
Ortogonalna komponenta: (0,0, (c-d)/2, (d-c)/2)
Norma ortogonalne komponente je d(v,L) = aps(c-d) / sqrt(2).
2. Matrica operatora A je tipa (3,4).
(Ap)(t) = A(at^3 + bt^2 + ct + d) = -6at -3a - 2b.
Ako se baza uredi po silaznim potencijama,
matrica - pisano po stupcima - izgleda ovako:
[ 0 -6 -3 // 0 0 -2 // 0 0 0 // 0 0 0 ].
A nije epimorfizam jer je ranga 2 , a dimenzija kodomene je 3.
Očito je jezgra [ {1, t} ].
Za prasliku polinoma t nađemo iz -6at -3a - 2b = t
da je a = -1/6, b = -1/4 tako da
se svaki polinom oblika -t^3/6 - t^2 /4 + ct + d
preslika u t, pa je praslika potprostora [t]
A^(-1) [t] = [ -t^3/6 - t^2 /4, t, 1].
[b] 3. TEST[/b]
[b]1.[/b] Linearni operator B na prostoru polinoma P2(R) zadan je s
B(p) = p + p'.
Ako je (g) = (g1, g2, g3) baza tog prostora zadana s
g1(t) = 2 – t,
g2(t) = t – t2,
g3(t) = 1 + t^2,
odredite takvu bazu (h) = (h1, h2, h3)
da matrica operatora B u paru baza (h,g) bude (po stupcima)
[b](h,g) = [ 1 0 0 // 1 1 0 // 1 1 1 ] .
[b]2.[/b] Na prostoru R2 zadani su linearni funkcionali
f1(x,y) = -2x+3y i
f2(x,y) = 4x + λy.
Izaberite neku vrijednost λ iz R tako da skup
{ f1, f2} bude baza dualnog prostora (R2)*.
(Obrazložite taj izbor).
Odredite onu bazu prostora R2 kojoj je { f1, f2} dualna baza.
Rješenja.
1. Imamo relaciju [B](h,g) = S^(-1) [B](e) T
pri čemu se za matricu B u kanonskoj bazi (e) lako
dobije [ 1 0 0 // 1 1 0 // 0 2 1],
a matrica T prijelaza iz (e) u (g) izravno se napiše.
Tražimo matricu S, a za nju imamo S = [B](e) T C^(-1)
(tu je sa C kraće označena [B](h,g) ).
C^(-1) = [ 1 0 0 // -1 1 0 // 0 -1 1]
Množenjem matrica dobiva se
S = [1 -1 0 // 0 0 -1// 0 3 2 ]
pa je h1(t) = 1 - t, h2(t) = -t^2, h3(t) = 3t + 2t^2.
2. Da bi {f1, f2} bila baza, moraju [ -2 3] i [4 λ] biti
linearno nezavisni, dakle λ različito od -6.
Neka su a1 = (x1, y1) i a2 = (x2, y2) vektori baze za
koju je {f1, f2} dualna baza.
Iz definicije dualne baze imamo f1(a1) = 1, f2(a1) = 0,
f1(a2) = 0, f2(a2) = 1, što se svodi na 2 sustava 2x2
ili matričnu jednadžbu (matrice pisane po stupcima)
[ -2 4 // 3 λ] [ x1 y1 // x2 y2] = [ 1 0 // 0 1]
odakle je a1 = ( -λ/(λ + 6), 2/ (λ+6)),
a2 = ( 3/2(λ + 6), 1/(λ+6) ).
Npr za λ = 0 to su (0, 1/3) i (1/4, 1/6).
Evo rješenja zadataka s 2. i 3. dodatnog testa,
možda će biti od koristi za pripremu za kolokvij
(i, dakako, za one koji su pisali testove).
2. TEST
1. U unitarnom prostoru R4 sa standardnim skalarnim
množenjem zadan je potprostor L = { (x1, x2, x3, x4): x3 = x4}.
Odredite ortogonalnu projekciju vektora v = (a,b,c,d)
na potprostor L i udaljenost d(v, L).
2. Preslikavanje A: P3(R) → P2(R) zadano je s
(Ap)(t) = p'(t) - p'(t + 1).
Dokažite da je A linearni operator, napišite njegovu matricu
u paru kanonskih baza, ispitajte je li A epimorfizam te
odredite prasliku potprostora [ t ].
Rješenja.
1. Projekcija v na L : (a,b, (c+d)/2, (c+d)/2)
Ortogonalna komponenta: (0,0, (c-d)/2, (d-c)/2)
Norma ortogonalne komponente je d(v,L) = aps(c-d) / sqrt(2).
2. Matrica operatora A je tipa (3,4).
(Ap)(t) = A(at^3 + bt^2 + ct + d) = -6at -3a - 2b.
Ako se baza uredi po silaznim potencijama,
matrica - pisano po stupcima - izgleda ovako:
[ 0 -6 -3 // 0 0 -2 // 0 0 0 // 0 0 0 ].
A nije epimorfizam jer je ranga 2 , a dimenzija kodomene je 3.
Očito je jezgra [ {1, t} ].
Za prasliku polinoma t nađemo iz -6at -3a - 2b = t
da je a = -1/6, b = -1/4 tako da
se svaki polinom oblika -t^3/6 - t^2 /4 + ct + d
preslika u t, pa je praslika potprostora [t]
A^(-1) [t] = [ -t^3/6 - t^2 /4, t, 1].
3. TEST
1. Linearni operator B na prostoru polinoma P2(R) zadan je s
B(p) = p + p'.
Ako je (g) = (g1, g2, g3) baza tog prostora zadana s
g1(t) = 2 – t,
g2(t) = t – t2,
g3(t) = 1 + t^2,
odredite takvu bazu (h) = (h1, h2, h3)
da matrica operatora B u paru baza (h,g) bude (po stupcima)
(h,g) = [ 1 0 0 // 1 1 0 // 1 1 1 ] .
[b]2. Na prostoru R2 zadani su linearni funkcionali
f1(x,y) = -2x+3y i
f2(x,y) = 4x + λy.
Izaberite neku vrijednost λ iz R tako da skup
{ f1, f2} bude baza dualnog prostora (R2)*.
(Obrazložite taj izbor).
Odredite onu bazu prostora R2 kojoj je { f1, f2} dualna baza.
Rješenja.
1. Imamo relaciju [B](h,g) = S^(-1) [B](e) T
pri čemu se za matricu B u kanonskoj bazi (e) lako
dobije [ 1 0 0 // 1 1 0 // 0 2 1],
a matrica T prijelaza iz (e) u (g) izravno se napiše.
Tražimo matricu S, a za nju imamo S = [B](e) T C^(-1)
(tu je sa C kraće označena [B](h,g) ).
C^(-1) = [ 1 0 0 // -1 1 0 // 0 -1 1]
Množenjem matrica dobiva se
S = [1 -1 0 // 0 0 -1// 0 3 2 ]
pa je h1(t) = 1 - t, h2(t) = -t^2, h3(t) = 3t + 2t^2.
2. Da bi {f1, f2} bila baza, moraju [ -2 3] i [4 λ] biti
linearno nezavisni, dakle λ različito od -6.
Neka su a1 = (x1, y1) i a2 = (x2, y2) vektori baze za
koju je {f1, f2} dualna baza.
Iz definicije dualne baze imamo f1(a1) = 1, f2(a1) = 0,
f1(a2) = 0, f2(a2) = 1, što se svodi na 2 sustava 2x2
ili matričnu jednadžbu (matrice pisane po stupcima)
[ -2 4 // 3 λ] [ x1 y1 // x2 y2] = [ 1 0 // 0 1]
odakle je a1 = ( -λ/(λ + 6), 2/ (λ+6)),
a2 = ( 3/2(λ + 6), 1/(λ+6) ).
Npr za λ = 0 to su (0, 1/3) i (1/4, 1/6).
|
