|
[b]Zadaci i rješenja: 1. i 2. zadatak[/b]
[b]1. (i)[/b] Ako projektivitet na pravcu preslikava točke A, B, C redom u B, C, A,
a točke D i E redom u E i F, odredite sliku točke F u tom projektivitetu.
Obrazložite zaključak.
[b] (ii) [/b] Neka su P i P’ točke čija spojnica je pravac q, zatim neka je u pravac
kroz P i v pravac kroz P’, oba različita od q.
Pretpostavimo da je zadan projektivitet pramenova pravaca (P) -^- (P’)
takav da se pravac u preslika u q, a pravac q u v. Nadalje, neka je
a pravac pramena (P), različit od q i u te a’ njegova slika u tom
projektivitetu.
Konstruirajte sliku bilo kojeg pravca b pramena (P) u projektivitetu,
za b ≠ u, a, q.
[b] (iii)[/b] Neka je C konika određena projektivitetom iz (ii), u smislu
Steinerovog teorema. Opišite konstrukciju tangente na koniku C u točki P’.
Rješenje:
(i) Neka je φ promatrani projektivitet. Tada φ^3 preslikava svaku od
točaka A, B i C samu u sebe, dakle ima tri fiksne točke pa po
Temeljnom teoremu φ^3 je identiteta ( φ^3 = 1).
Kako je φ^2 (D) = F, imamo φ^3 (D) = φ (F) = D.
Ako se propusti uočiti da je φ^3 je identiteta po Temeljnom teoremu
pa se izračunava koordinatno, npr. tako da se uzme
A(0), B ( ∞ ) i C(1), dobiva se da je φ(x) = 1 - 1/x, φ^3 (x) = x.
(ii) Konstrukcija se najlakše izvodi pomoću centra projektiviteta
(dual teorema o osi projektiviteta). Ovdje je centar projektiviteta
sjecište pravaca u i v.
Dakle, za bilo koja dva pravca a i b pramena (P), različita od u i q.
spojnica (a x b')(b x a') prolazi sjecištem u i v pa se odatle
najprije dobije a x b' i zatim pravac b'.
(iii) Po Steinerovom teoremu (konika generirana projektivitetom
koji nije perspektivitet) tražena tangenta u točki P' je
pravac v, kao slika spojnice q točaka P i P'.
[b]2.[/b] Neka projektivna transformacija ravnine PG(2, R) ima točno 3 fiksne
točke i to nekolinearne. Može li ta transformacija biti involutorna?
Ako može, navedite primjer takve projektivne transformacije.
Rješenje:
Koordinatno, matrica A (3 x 3) promatrane projektivne transformacije
mora imati tri različita svojstvena potprostora dimenzije 1, a A^2 zbog
involutornosti je skalarna matrica različita od 0. Odatle A ima dvije
različite svojstvene vrijednosti, jedna od njih mora imati svojstveni
potprostor dimenzije 2, a to znači pravac čije su sve točke fiksne,
nemoguće.
Stoga ne postoji projektivna transformacija ravnine s traženim svojstvima.
Bez koordinata: Neka su F1, F2 i F3 (jedine) fiksne točke, nekolinearne.
Spojnica svake dvije od njih je fiksni pravac i involutorna projektivna
transformacija na svakom od njih inducira hiperbolički involutorni
projektivitet. Ako su npr. A i A', odnosno B i B' pridruženi parovi točaka
na pravcima F1 F2 i F1 F3, onda se pravci AB i A'B' moraju sjeći
u točki pravca F2 F3 (jer vrijedi H(F1 F2; A A') i H(F1 F3; B B') ).
To sjecište je onda daljnja fiksna točka na pravcu F2 F3, suprotno
pretpostavci.
Ovo je ujedno bitni dio dokaza teorema da je jedina (neidentička)
involutorna transformacija ravnine tzv. harmonička homologija
(zrcaljenje s obzirom na pravac, općenito "koso").
Zadaci i rješenja: 1. i 2. zadatak
1. (i) Ako projektivitet na pravcu preslikava točke A, B, C redom u B, C, A,
a točke D i E redom u E i F, odredite sliku točke F u tom projektivitetu.
Obrazložite zaključak.
(ii) Neka su P i P’ točke čija spojnica je pravac q, zatim neka je u pravac
kroz P i v pravac kroz P’, oba različita od q.
Pretpostavimo da je zadan projektivitet pramenova pravaca (P) -^- (P’)
takav da se pravac u preslika u q, a pravac q u v. Nadalje, neka je
a pravac pramena (P), različit od q i u te a’ njegova slika u tom
projektivitetu.
Konstruirajte sliku bilo kojeg pravca b pramena (P) u projektivitetu,
za b ≠ u, a, q.
(iii) Neka je C konika određena projektivitetom iz (ii), u smislu
Steinerovog teorema. Opišite konstrukciju tangente na koniku C u točki P’.
Rješenje:
(i) Neka je φ promatrani projektivitet. Tada φ^3 preslikava svaku od
točaka A, B i C samu u sebe, dakle ima tri fiksne točke pa po
Temeljnom teoremu φ^3 je identiteta ( φ^3 = 1).
Kako je φ^2 (D) = F, imamo φ^3 (D) = φ (F) = D.
Ako se propusti uočiti da je φ^3 je identiteta po Temeljnom teoremu
pa se izračunava koordinatno, npr. tako da se uzme
A(0), B ( ∞ ) i C(1), dobiva se da je φ(x) = 1 - 1/x, φ^3 (x) = x.
(ii) Konstrukcija se najlakše izvodi pomoću centra projektiviteta
(dual teorema o osi projektiviteta). Ovdje je centar projektiviteta
sjecište pravaca u i v.
Dakle, za bilo koja dva pravca a i b pramena (P), različita od u i q.
spojnica (a x b')(b x a') prolazi sjecištem u i v pa se odatle
najprije dobije a x b' i zatim pravac b'.
(iii) Po Steinerovom teoremu (konika generirana projektivitetom
koji nije perspektivitet) tražena tangenta u točki P' je
pravac v, kao slika spojnice q točaka P i P'.
2. Neka projektivna transformacija ravnine PG(2, R) ima točno 3 fiksne
točke i to nekolinearne. Može li ta transformacija biti involutorna?
Ako može, navedite primjer takve projektivne transformacije.
Rješenje:
Koordinatno, matrica A (3 x 3) promatrane projektivne transformacije
mora imati tri različita svojstvena potprostora dimenzije 1, a A^2 zbog
involutornosti je skalarna matrica različita od 0. Odatle A ima dvije
različite svojstvene vrijednosti, jedna od njih mora imati svojstveni
potprostor dimenzije 2, a to znači pravac čije su sve točke fiksne,
nemoguće.
Stoga ne postoji projektivna transformacija ravnine s traženim svojstvima.
Bez koordinata: Neka su F1, F2 i F3 (jedine) fiksne točke, nekolinearne.
Spojnica svake dvije od njih je fiksni pravac i involutorna projektivna
transformacija na svakom od njih inducira hiperbolički involutorni
projektivitet. Ako su npr. A i A', odnosno B i B' pridruženi parovi točaka
na pravcima F1 F2 i F1 F3, onda se pravci AB i A'B' moraju sjeći
u točki pravca F2 F3 (jer vrijedi H(F1 F2; A A') i H(F1 F3; B B') ).
To sjecište je onda daljnja fiksna točka na pravcu F2 F3, suprotno
pretpostavci.
Ovo je ujedno bitni dio dokaza teorema da je jedina (neidentička)
involutorna transformacija ravnine tzv. harmonička homologija
(zrcaljenje s obzirom na pravac, općenito "koso").
|
