Zasad objavljujem rezultate i kratka rješenja.
Naknadno ću napisati opširnija rješenja i komentare.
Uvidi - na konzultacijama ili po dogovoru.
Identiteti su kodirani umnoškom posljednje 3 znamenke
matičnog broja.
Rezultati su napisani u obliku:
([b]kod identiteta[/b]) - ([b]zbroj bodova[/b]) (bodovi po zadacima, max. je 30)
[b]54 - 22[/b] (5,4,5,7,1)
[b]72 - 20[/b] (2,1,5,7,5)
[b]64 - 17[/b] (4,5,0,6,2)
[b]
240 - 16 [/b](1,4,2,7,2)
[b]405 - 15[/b] (4,0,5,1,5)
[b]49 - 11[/b] (1,2,0,6,2)
[b]
0 - 10[/b] (3,0,3,1,3)
[b]24 - 9[/b] (5,2,1,1,0)
[b]60 - 8[/b] (2,1,5,0,0)
[b]256 - 7[/b] (0,4,2,0,1)
[b]
96 - 7[/b] (0,7,0,0,0)
Rješenja:
1. v = 41 je najmanja vrijednost za koju su
ispunjeni nužni uvjeti postojanja 2-(v,5,1) i
3-(v,5,1) dizajna. (Sljedeća je v=65).
2. Za red n=14 dobivaju se najprije sljedeće
trojke parametara simetričnog dizajna,
uz primjenu uvjeta da se v nalazi u
intervalu [4n-1, n^2+n+1] = [55, 211].
Za krajnje vrijednosti to su uvijek
Hadamardov dizajn, odnosno projektivna ravnina;
pisat ću samo jednu trojku od para međusobno
komplementarnih dizajna:
(55,27,13) - Hadamardov, postoji
(211, 15, 1) - projektivna ravnina, ne postoji jer
14 je oblika 4m+2, a nije zbroj dva
cjelobrojna kvadrata
(121,16,2) - mogao bi postojati (ali to još nije utvrđeno)
jer je ispunjen uvjet B-R-Ch teorema
(jednadžba 14x^2 + 2y^2 = z^2 ima
rješenje (1,1,4))
(61,21,7) - ne postoji jer jednadžba
14x^2 - 7 y^2 = z^2
nema netrivijalno cjelobrojno rješenje.
3. Dizajn 5-(12,6,1) daje povoljan raspored (i postoji).
4. Traženi 4-(4n+1, 2n+1, n-1) dizajn ne postoji,
premda su vrijednosti λ(i) cjelobrojne za i=1,2,3,4,
ali λ(0) = b nikad nije cjelobrojna za n>1.
5. 2-(25,5,1) je afina ravnina reda 5, nad poljem F = GF(5)
konstruira se tako da su točke vektori (x,y) iz F^2,
a pravci su linearne monoguostrukosti dimenzije 1
(tj. skupovi oblika y = ax +b i x = const.)
Skup x^2 + y^2 = 0 sastoji se od 9 točaka,
a to su dva pravca sa zajedničkom točkom (0,0).
Najlakši način: nad GF(5) vrijedi
x^2 + y^2 = x^2 - 4 y^2 = (x +2y)(x-2y) = 0, itd.
Zasad objavljujem rezultate i kratka rješenja.
Naknadno ću napisati opširnija rješenja i komentare.
Uvidi - na konzultacijama ili po dogovoru.
Identiteti su kodirani umnoškom posljednje 3 znamenke
matičnog broja.
Rezultati su napisani u obliku:
(kod identiteta) - (zbroj bodova) (bodovi po zadacima, max. je 30)
54 - 22 (5,4,5,7,1)
72 - 20 (2,1,5,7,5)
64 - 17 (4,5,0,6,2)
240 - 16 (1,4,2,7,2)
405 - 15 (4,0,5,1,5)
49 - 11 (1,2,0,6,2)
0 - 10 (3,0,3,1,3)
24 - 9 (5,2,1,1,0)
60 - 8 (2,1,5,0,0)
256 - 7 (0,4,2,0,1)
96 - 7 (0,7,0,0,0)
Rješenja:
1. v = 41 je najmanja vrijednost za koju su
ispunjeni nužni uvjeti postojanja 2-(v,5,1) i
3-(v,5,1) dizajna. (Sljedeća je v=65).
2. Za red n=14 dobivaju se najprije sljedeće
trojke parametara simetričnog dizajna,
uz primjenu uvjeta da se v nalazi u
intervalu [4n-1, n^2+n+1] = [55, 211].
Za krajnje vrijednosti to su uvijek
Hadamardov dizajn, odnosno projektivna ravnina;
pisat ću samo jednu trojku od para međusobno
komplementarnih dizajna:
(55,27,13) - Hadamardov, postoji
(211, 15, 1) - projektivna ravnina, ne postoji jer
14 je oblika 4m+2, a nije zbroj dva
cjelobrojna kvadrata
(121,16,2) - mogao bi postojati (ali to još nije utvrđeno)
jer je ispunjen uvjet B-R-Ch teorema
(jednadžba 14x^2 + 2y^2 = z^2 ima
rješenje (1,1,4))
(61,21,7) - ne postoji jer jednadžba
14x^2 - 7 y^2 = z^2
nema netrivijalno cjelobrojno rješenje.
3. Dizajn 5-(12,6,1) daje povoljan raspored (i postoji).
4. Traženi 4-(4n+1, 2n+1, n-1) dizajn ne postoji,
premda su vrijednosti λ(i) cjelobrojne za i=1,2,3,4,
ali λ(0) = b nikad nije cjelobrojna za n>1.
5. 2-(25,5,1) je afina ravnina reda 5, nad poljem F = GF(5)
konstruira se tako da su točke vektori (x,y) iz F^2,
a pravci su linearne monoguostrukosti dimenzije 1
(tj. skupovi oblika y = ax +b i x = const.)
Skup x^2 + y^2 = 0 sastoji se od 9 točaka,
a to su dva pravca sa zajedničkom točkom (0,0).
Najlakši način: nad GF(5) vrijedi
x^2 + y^2 = x^2 - 4 y^2 = (x +2y)(x-2y) = 0, itd.
|