Rezultati 1. kolokvija od 16.05.2019.

[Juraj Siftar]

Zasad objavljujem rezultate i kratka rješenja.
Naknadno ću napisati opširnija rješenja i komentare.
Uvidi - na konzultacijama ili po dogovoru.

Identiteti su kodirani umnoškom posljednje 3 znamenke
matičnog broja.
Rezultati su napisani u obliku:
(kod identiteta) - (zbroj bodova) (bodovi po zadacima, max. je 30)

54 - 22 (5,4,5,7,1)

72 - 20 (2,1,5,7,5)

64 - 17 (4,5,0,6,2)

240 - 16 (1,4,2,7,2)

405 - 15 (4,0,5,1,5)

49 - 11 (1,2,0,6,2)

0 - 10 (3,0,3,1,3)

24 - 9 (5,2,1,1,0)

60 - 8 (2,1,5,0,0)

256 - 7 (0,4,2,0,1)

96 - 7 (0,7,0,0,0)



Rješenja:

1. v = 41 je najmanja vrijednost za koju su
ispunjeni nužni uvjeti postojanja 2-(v,5,1) i
3-(v,5,1) dizajna. (Sljedeća je v=65).

2. Za red n=14 dobivaju se najprije sljedeće
trojke parametara simetričnog dizajna,
uz primjenu uvjeta da se v nalazi u
intervalu [4n-1, n^2+n+1] = [55, 211].
Za krajnje vrijednosti to su uvijek
Hadamardov dizajn, odnosno projektivna ravnina;
pisat ću samo jednu trojku od para međusobno
komplementarnih dizajna:

(55,27,13) - Hadamardov, postoji
(211, 15, 1) - projektivna ravnina, ne postoji jer
14 je oblika 4m+2, a nije zbroj dva
cjelobrojna kvadrata
(121,16,2) - mogao bi postojati (ali to još nije utvrđeno)
jer je ispunjen uvjet B-R-Ch teorema
(jednadžba 14x^2 + 2y^2 = z^2 ima
rješenje (1,1,4))
(61,21,7) - ne postoji jer jednadžba
14x^2 - 7 y^2 = z^2
nema netrivijalno cjelobrojno rješenje.

3. Dizajn 5-(12,6,1) daje povoljan raspored (i postoji).

4. Traženi 4-(4n+1, 2n+1, n-1) dizajn ne postoji,
premda su vrijednosti λ(i) cjelobrojne za i=1,2,3,4,
ali λ(0) = b nikad nije cjelobrojna za n>1.

5. 2-(25,5,1) je afina ravnina reda 5, nad poljem F = GF(5)
konstruira se tako da su točke vektori (x,y) iz F^2,
a pravci su linearne monoguostrukosti dimenzije 1
(tj. skupovi oblika y = ax +b i x = const.)

Skup x^2 + y^2 = 0 sastoji se od 9 točaka,
a to su dva pravca sa zajedničkom točkom (0,0).
Najlakši način: nad GF(5) vrijedi
x^2 + y^2 = x^2 - 4 y^2 = (x +2y)(x-2y) = 0, itd.

[Juraj Siftar]

Nekoliko komentara o rješavanju kolokvija.

Zapravo su svi zadaci riješeni (osim možda poneke
pojedinosti, manje važne), samo što su rješenja
dosta neujednačeno raspoređena.

Relativno veliki broj pogrešaka nastao je u
elementarnim operacijama (zbrajanje i množenje),
što nisu teške pogreške same po sebi, ali
odvedu na sasvim pogrešni put npr.
kod traženih parametara dizajna.

Dosta elementarnih pogrešaka bilo je i kod
ispitivanja uvjeta djeljivosti.
Za 2-(v,5,1) dizajn nužni su uvjeti da
v-1 bude djeljiv sa 4, a v(v-1) djeljiv s 20.
To, međutim, ne znači da v treba biti
djeljiv s 5 (više puta viđeno), nego -
kad se točno ispita - da v pri dijeljenju
s 20 daje ostatak 1 ili 5.
(Npr. v= 21 očito ispunjava uvjet).

Za 3-(v,5,1) treba još v-2 biti djeljiv s 3,
što je većina ustanovila. Onda se lako
dobije da su prve "dobre" vrijednosti
za v jednake 41 i 65.

U 2. zadatku, za simetrične dizajne reda n=14
rješavanje je standardno, ali treba to provesti
temeljito.

U 5. zadatku bilo je dosta raznovrsnih pogrešaka.
Prvo, u opisu kako se afina ravnina reda 5
konstruira nad poljem GF(5), a zatim i u
određivanju skupa rješenja x^2 + y^2 = 0,
u polju GF(5).
Ako se točno izračuna (ne nužno uočavanjem
da je polinom reducibilan), dobiva se 9 rješenja,
a to onda ne može biti neraspadnuta krivulja 2. reda
(takva može imati najviše 6 točaka u afinoj ravnini).
Uglavnom, nije se uočilo da među dobivenim
točkama (ako se i ne nađe svih 9) postoje
3 kolinearne (zapravo i 5 kolinearnih) pa to
ne može biti (konačna) neraspadnuta krivulja.