Neke napomene i upute za 1. domaću zadaću (objasnjenje gradiva)

[Juraj Siftar]

Evo nekoliko napomena i uputa o tipovima zadataka koji su
zastupljeni u 1. domaćoj zadaći - djelomično sa svrhom da se
dodatno objasne neke pojedinosti s kojima redovito ima
poteškoća u zadaćama, testovima i kolokvijima, a djelomično
zato da se možda potakne bavljenje tom zadaćom.

U gotovo svim zadacima riječ je o ispitivanju svojstava nekih
algebarskih struktura, a u nekima o rješavanju jednadžbi u
pojedinim "manje standardnim" strukturama.

Korisno je obratiti pozornost na Napomenu 1.1.5. u skriptama,
budući da se odnosi na jedan od glavnih tipova prmjera/zadataka.

Naime, u zadacima se najčešće pojavljuju dvije varijacije
standardnih (i otprije poznatih) algebarskih stuktura:
(1) umjesto skupa svih cijelih, racionalnih, realnih ili kompleksnih
brojeva promatra se određeni podskup;
(2) uvodi se neka "nestandardna" operacija, izražena pomoću
standardnih (obično zbrajanja ili množenja), katkad na cijelom
"poznatom" skupu, a katkad na njegovom podskupu.

Primjerice, u 5. zadatku u domaćoj zadaći, pod (a) vidimo "novu",
"neobičnu" operaciju na skupu pozitivnih racionalnih brojeva,
a pod (c) operacija je standardno zbrajanje, ali elementi skupa
su samo racionalni brojevi jednog posebnog oblika.

U oba slučaja bitno je, kao prvo, ispitati "zatvorenost" s obzirom
na zadanu operaciju (vidi Napomenu 1.1.5. za točno značenje
tog izraza). Ako vrijedi zatvorenost, imamo grupoid pa
nastavljamo ispitivanje svojstava.

Naprotiv, neka svojstva, npr. asocijativnosti i
komutativnosti izravno vrijede u slučaju standardne operacije u (c)
i tu se nema što stvarno dokazivati, nego samo pozvati se na
"nasljeđivanje" svojstava koja vrijede za sve racionalne, odnosno
realne brojeve pa tako onda i za neke posebno istaknute elemente
tih skupova.
(Npr. komutativnost zbrajanja realnih brojeva - ili se uzima
kao jedno od svojstava u definiciji polja realnih brojeva ili to
proizlazi iz konstrukcije polja realnih brojeva; kako god se
gleda, to svojstvo ovdje možemo/moramo uzeti kao poznato).

Drukčije je u 5.(a). Ovdje operacija nije standardna nego
treba računom potvrditi ili opovrgnuti valjanost svojstava
oblika identiteta, kao (x*y)*z = x*(y*z) i x * y = y * x za sve
x,y,z iz promatranog skupa. Pritom za asocijativnost doista
treba malo više računanja, dok se o komutativnosti može
lako zaključiti čim se uoči simetrična (u x i y) forma operacije *.

Pažljivim čitanjem primjera iz skripata mogu se riješiti
eventualne dileme oko toga što se mora dokazati, a što
je dostatno konstatirati kao "naslijeđeno".

Ako se ustvrdi da neko svojstvo ne vrijedi, potrebno je
uvijek navesti konkretni primjer (recimo elementa koji
nije invertibilan ili trojke elemenata za koju ne vrijedi
asocijativnost).

Još ću istaknuti 4. zadatak, jer u njemu dolazi do izražaja
bitna razlika između konačnih i beskonačnih skupova.
Ako je neki skup S konačan, onda je svaka injekcija
f: S → S ujedno i surjekcija. Vrijedi i obrat. Dakle, na
konačnom skupu pojmovi injekcije, surjekcije i bijekcije
ekvivalentni su.
U ovom zadatku skup prirodnih brojeva je i domena i
kodomena. Znamo da skup svih bijekcija čini grupu
sadržanu u monoidu svih preslikavanja sa S u S,
bio taj skup S konačan ili beskonačan. No, kad se
ograničimo na injekcije, treba pažljivo zaključiti koja
sve svojstva ima podskup svih injekcija u monoidu
svih preslikavanja s N u N.

[Juraj Siftar]

Zasad sam dobio nekoliko domaćih zadaća e-mailom,
odgovaram svima pojedinačno, no uočio sam neke
"nesporazume" koji se više puta ponavljaju pa to
želim ovdje razjasniti.

Svojstvo komutativnosti binarne operacije znači da
svaka dva elementa iz odgovarajućeg skupa komutiraju
u toj operaciji.

Nekomutativnost stoga znači da ne komutira baš svaki
par elemenata, ali ne znači da uopće nema parova
koji komutiraju. Za nekomutativnost dostatno je da
postoji barem jedan par elemenata koji ne komutira.
(Negacija od "za svaki vrijedi..." ima smisao "postoji barem
jedan za koji ne vrijedi", a ne "ni za jedan ne vrijedi").

U 1. domaćoj zadaći ima primjera da je neka struktura
komutativna, iako je sadržana u nekomutativnoj strukturi,
kao podskup.
Nadalje, ako postoji neutralni element, taj po definiciji
komutira sa svima i "uopće ga se ne tiče" ako nema
drugih komutativnih parova elemenata.
Također, svaki element sigurno komutira sam sa sobom,
u bilo kojem grupoidu.

Usput, a u vezi i s 4. zadatkom, pogledajte
sljedeća preslikavanja na skupu prirodnih brojeva N.

f(n) = n+1, g(n) = 2n, h(n) = 3n.

Jesu li to injekcije? Mogu li se izabrati dvije koje
komutiraju i dvije koje ne komutiraju?