|
Nakon uvida u rješavanje zadataka na 1. testu, želim iznijeti
primjedbe o nekim čestim pogreškama koje sam mogao uočiti,
što bi možda moglo pomoći ubuduće na LA 2.
Neke od tih pogrešaka baš su drastične i ukazuju na
dublje nerazumijevanje gradiva, a takve su da se ne mogu
pripisati "brzini" ili "dekoncentraciji" (jer su poznate još iz LA 1
i odnose se na osnovne pojmove).
1. Vjerojatno najgore pogreške - a viđene u barem 15-20 testova -
mogu se sažeti u ovakvu "propoziciju" (duboko pogrešnu):
"Ako su baze dva potprostora disjunktne, onda su i ti potprostori
disjunktni".
Ovo dolazi i u različitim srodnim varijantama, koje se otprilike svode
na to da se ne razlikuje skup vektora od linearne ljuske tog skupa.
To nije "od jučer", često se moglo vidjeti i kod provjera znanja u LA 1,
no sad kao da se ta zabluda razmahala jer je u međuvremenu
zaboravljeno što se učilo u LA 1.
Među posljedice i varijante ulazi i to da mnogi uopće ne spominju
sumu potprostora (gdje bi morala biti suma) nego samo uniju pa
"dimenziju unije", pri čemu je npr. unija poprostora, "naravno", jednaka
uniji njihovih baza. Dakle, nema nikakvih linearnih ljuski, ničega,
skup od 2 vektora jednak je potprostoru dimenzije 2 itd, sa svim
"zanimljivim" posljedicama, a to da je potpuno besmisleno -
nije važno.
Ne namjeravam ovdje, na forumu za LA 2, tumačiti koliko je apsurdan
cijeli taj "pristup" ("pojednostavljenju" linearne algebre putem zaboravljanja
osnovnih stvari). Znatno je korisnije - ako netko prepozna svoje pogreške -
samostalno ili uz nečiju pomoć (na svako konkretno pitanje i ja ću
odgovoriti) raščistiti pojmove i prisjetiti se osnovnog gradiva.
Vjerujte (ili ne vjerujte), izgovori tipa "nismo imali dovoljno vremena"
nisu opravdani, jer se sve ovo događalo i ranije, samo manje napadno.
Znatan dio studenata nikad se nije naviknuo pisati oznaku za linearnu
ljusku, nego se kao podrazumijevalo - pa to je očito baza, nije to
cijeli potprostor, no zatim se počelo i "vjerovati" (bez ikakvog
podrazumijevanja, koje je moguće ako se zna stvarni smisao) da je
pogrešno pisanje ispravno i rezultat se vidi - potpune besmislice.
2. Nekoliko puta viđeno: "ako se u bazi potprostora ne nalazi jedinični
vektor, onda u tom potprostoru ne postoji jedinični vektor" (!).
Napomena: čim se u normiranom prostoru nalazi vektor različit od
nulvektora, onda se u njemu nalaze i vektori svih mogućih vrijednosti
normi (nenegativnih realnih brojeva) pa među njima i norme 1.
Kome ovo nije jasno, dobar je trenutak da si razjasni.
3. Banalno, često puta upozoravano na predavanjima: norma vektora
ne može biti negativan realni broj niti kompleksni broj koji nije realan.
Ako se to pojavi u računu, znaći da je sigurno pogrešno, mora se
uočiti i korigirati, inače je sve dalje sasvim pogrešno.
4. Također više puta savjetovano na predavanjima: ako se traže neki
ortogonalni vektori, obično je vrlo lako (naočigled) provjeriti jesu li
dobiveni vektori doista ortogonalni, umjesto da se mirno dalje
računa s pogrešnim vektorima i samo gubi dragocjeno vrijeme.
(Npr. (1, i, 0) i (i, 0, 1) očito nisu ortogonalni).
Neke pojedinačne teže pogreške neću isticati, u nadi da su ipak
slučajne/individualne. Ponavljam, izvor najgorih zabluda jest onaj pod
1. točkom, samo što se ne manifestira uvijek u istom obliku, no najčešće
je riječ o "izjednačavanju" pojmova različitog smisla.
Juraj Šiftar
Nakon uvida u rješavanje zadataka na 1. testu, želim iznijeti
primjedbe o nekim čestim pogreškama koje sam mogao uočiti,
što bi možda moglo pomoći ubuduće na LA 2.
Neke od tih pogrešaka baš su drastične i ukazuju na
dublje nerazumijevanje gradiva, a takve su da se ne mogu
pripisati "brzini" ili "dekoncentraciji" (jer su poznate još iz LA 1
i odnose se na osnovne pojmove).
1. Vjerojatno najgore pogreške - a viđene u barem 15-20 testova -
mogu se sažeti u ovakvu "propoziciju" (duboko pogrešnu):
"Ako su baze dva potprostora disjunktne, onda su i ti potprostori
disjunktni".
Ovo dolazi i u različitim srodnim varijantama, koje se otprilike svode
na to da se ne razlikuje skup vektora od linearne ljuske tog skupa.
To nije "od jučer", često se moglo vidjeti i kod provjera znanja u LA 1,
no sad kao da se ta zabluda razmahala jer je u međuvremenu
zaboravljeno što se učilo u LA 1.
Među posljedice i varijante ulazi i to da mnogi uopće ne spominju
sumu potprostora (gdje bi morala biti suma) nego samo uniju pa
"dimenziju unije", pri čemu je npr. unija poprostora, "naravno", jednaka
uniji njihovih baza. Dakle, nema nikakvih linearnih ljuski, ničega,
skup od 2 vektora jednak je potprostoru dimenzije 2 itd, sa svim
"zanimljivim" posljedicama, a to da je potpuno besmisleno -
nije važno.
Ne namjeravam ovdje, na forumu za LA 2, tumačiti koliko je apsurdan
cijeli taj "pristup" ("pojednostavljenju" linearne algebre putem zaboravljanja
osnovnih stvari). Znatno je korisnije - ako netko prepozna svoje pogreške -
samostalno ili uz nečiju pomoć (na svako konkretno pitanje i ja ću
odgovoriti) raščistiti pojmove i prisjetiti se osnovnog gradiva.
Vjerujte (ili ne vjerujte), izgovori tipa "nismo imali dovoljno vremena"
nisu opravdani, jer se sve ovo događalo i ranije, samo manje napadno.
Znatan dio studenata nikad se nije naviknuo pisati oznaku za linearnu
ljusku, nego se kao podrazumijevalo - pa to je očito baza, nije to
cijeli potprostor, no zatim se počelo i "vjerovati" (bez ikakvog
podrazumijevanja, koje je moguće ako se zna stvarni smisao) da je
pogrešno pisanje ispravno i rezultat se vidi - potpune besmislice.
2. Nekoliko puta viđeno: "ako se u bazi potprostora ne nalazi jedinični
vektor, onda u tom potprostoru ne postoji jedinični vektor" (!).
Napomena: čim se u normiranom prostoru nalazi vektor različit od
nulvektora, onda se u njemu nalaze i vektori svih mogućih vrijednosti
normi (nenegativnih realnih brojeva) pa među njima i norme 1.
Kome ovo nije jasno, dobar je trenutak da si razjasni.
3. Banalno, često puta upozoravano na predavanjima: norma vektora
ne može biti negativan realni broj niti kompleksni broj koji nije realan.
Ako se to pojavi u računu, znaći da je sigurno pogrešno, mora se
uočiti i korigirati, inače je sve dalje sasvim pogrešno.
4. Također više puta savjetovano na predavanjima: ako se traže neki
ortogonalni vektori, obično je vrlo lako (naočigled) provjeriti jesu li
dobiveni vektori doista ortogonalni, umjesto da se mirno dalje
računa s pogrešnim vektorima i samo gubi dragocjeno vrijeme.
(Npr. (1, i, 0) i (i, 0, 1) očito nisu ortogonalni).
Neke pojedinačne teže pogreške neću isticati, u nadi da su ipak
slučajne/individualne. Ponavljam, izvor najgorih zabluda jest onaj pod
1. točkom, samo što se ne manifestira uvijek u istom obliku, no najčešće
je riječ o "izjednačavanju" pojmova različitog smisla.
Juraj Šiftar
|
