|
U obje varijante zadatka riječ je o unitarnom prostoru
matrica M_2([b]R[/b]) i dva potprostora, za koje treba dokazati
da su međusobno ortogonalni komplementi. Nadalje,
pita se vrijedi li ista tvrdnja i za matrice reda n, n > 2.
Zatim, treba usporediti udaljenost matrice (po retcima)
A = [ 1 0// 1 0] od oba potprostora.
U jednoj varijanti S je potprostor simetričnih, a T
potprostor antisimetričnih matrica. Izravno se skalarnim
množenjem opće simetrične i opće antisimetrične
matrice vidi da su ortogonalne, npr.
< [ a b // b c ] I [0 x // -x 0] > = bx - bx = 0.
(Za red n općenito nije puno teže, jer su umnošci po
dijagonali jednaki 0, a izvan dijagonale suprotnih
vrijednosti).
Time S i T jesu međusobno ortogonalni potprostori,
dakle suma im je ortogonalna, a preostalu tvrdnju -
da je ta suma jednaka cijelom prostoru M_2([b]R[/b])
može se dokazati izravno ili pozivanjem na poznatu
činjenicu iz Linearne algebre 1 da je suma S+T direktna,
a gdje se zna i eksplicitni prikaz opće matrice A:
A = 1/2(A + A^t) + 1/2(A - A^t).
Za dokaz da su ortogonalni komplementi dovoljno je
i iskoristiti da je zbroj dimenzija S i T jednak
n^2, što je dim M_2([b]R[/b]).
Još je jedan lagan način da se izravno izračuna kako
izgleda ortogonalni komplement od S pa se dobiva da je
to točno potprostor antisimetričnih matrica.
Zadana A = [ 1 0 // 1 0] = [ 1 1/2 // 1/2 0] + [0 -1/2 // 1/2 0].
(To je rastav u zbroj simetrične i antismetrične matrice).
Norma simetrične komponente je sqrt(3/2) i to je udaljenost
od T, a norma antisimetrične komponente je sqrt(1/2) i
to je udaljenost od S.
Dakle, A je bliža potprostoru simetričnih matrica (u ovoj normi).
U drugoj varijanti S je potprostor skalarnih matrica, a T
potprostor matrica traga 0.
Dimenzije potprostora su 1 i n^2 - 1, a suma je očito
direktna i jednaka cijelom prostoru.
Ortogonalnost se lako provjeri skalarnim množenjem.
Rastav se izračuna, može se samo za zadanu A ili općenito.
Dobiva se da je opća matrica A = [ a b // c d]
jednaka zbroju (a+d)/2 [ 1 0 // 0 1] + [ (a-d)/2 b // c (d-a)/2].
Za A = [ 1 0 // 1 0] to je [1/2 0 // 0 1/2] + [1/2 0 // 1 -1/2].
Norma prve matrice je sqrt(1/2), a druge sqrt(3/2).
Dakle, A je bliža potprostoru T matrica traga 0.
Napomena - komponente u rastavu korektno je odrediti
i pomoću ortogonalne projekcije, ali zapravo je suvišno
i može se odrediti izravno rastavom u matrice zadanih
tipova, jer u oba slučaja suma je ortogonalna pa je rastav
na te tipove sam po sebi ortogonalan, tj. komponente
"običnog" zbroja isto su što i komponente ortogonalnog
rastava.
U obje varijante zadatka riječ je o unitarnom prostoru
matrica M_2(R) i dva potprostora, za koje treba dokazati
da su međusobno ortogonalni komplementi. Nadalje,
pita se vrijedi li ista tvrdnja i za matrice reda n, n > 2.
Zatim, treba usporediti udaljenost matrice (po retcima)
A = [ 1 0// 1 0] od oba potprostora.
U jednoj varijanti S je potprostor simetričnih, a T
potprostor antisimetričnih matrica. Izravno se skalarnim
množenjem opće simetrične i opće antisimetrične
matrice vidi da su ortogonalne, npr.
< [ a b // b c ] I [0 x // -x 0] > = bx - bx = 0.
(Za red n općenito nije puno teže, jer su umnošci po
dijagonali jednaki 0, a izvan dijagonale suprotnih
vrijednosti).
Time S i T jesu međusobno ortogonalni potprostori,
dakle suma im je ortogonalna, a preostalu tvrdnju -
da je ta suma jednaka cijelom prostoru M_2(R)
može se dokazati izravno ili pozivanjem na poznatu
činjenicu iz Linearne algebre 1 da je suma S+T direktna,
a gdje se zna i eksplicitni prikaz opće matrice A:
A = 1/2(A + A^t) + 1/2(A - A^t).
Za dokaz da su ortogonalni komplementi dovoljno je
i iskoristiti da je zbroj dimenzija S i T jednak
n^2, što je dim M_2(R).
Još je jedan lagan način da se izravno izračuna kako
izgleda ortogonalni komplement od S pa se dobiva da je
to točno potprostor antisimetričnih matrica.
Zadana A = [ 1 0 // 1 0] = [ 1 1/2 // 1/2 0] + [0 -1/2 // 1/2 0].
(To je rastav u zbroj simetrične i antismetrične matrice).
Norma simetrične komponente je sqrt(3/2) i to je udaljenost
od T, a norma antisimetrične komponente je sqrt(1/2) i
to je udaljenost od S.
Dakle, A je bliža potprostoru simetričnih matrica (u ovoj normi).
U drugoj varijanti S je potprostor skalarnih matrica, a T
potprostor matrica traga 0.
Dimenzije potprostora su 1 i n^2 - 1, a suma je očito
direktna i jednaka cijelom prostoru.
Ortogonalnost se lako provjeri skalarnim množenjem.
Rastav se izračuna, može se samo za zadanu A ili općenito.
Dobiva se da je opća matrica A = [ a b // c d]
jednaka zbroju (a+d)/2 [ 1 0 // 0 1] + [ (a-d)/2 b // c (d-a)/2].
Za A = [ 1 0 // 1 0] to je [1/2 0 // 0 1/2] + [1/2 0 // 1 -1/2].
Norma prve matrice je sqrt(1/2), a druge sqrt(3/2).
Dakle, A je bliža potprostoru T matrica traga 0.
Napomena - komponente u rastavu korektno je odrediti
i pomoću ortogonalne projekcije, ali zapravo je suvišno
i može se odrediti izravno rastavom u matrice zadanih
tipova, jer u oba slučaja suma je ortogonalna pa je rastav
na te tipove sam po sebi ortogonalan, tj. komponente
"običnog" zbroja isto su što i komponente ortogonalnog
rastava.
|
