|
1.
Pomoću Gramove matrice ispitajte linearnu nezavisnost
podskupa S = {(1,1,1,1,), (1,1,2,4), (1,2,-4,-3)} unitarnog
prostora [b]R[/b]^4.
Ako je S linearno nezavisan, ortonormirajte ga primjenom
Gram-Schmidtovog postupka.
Izračunajte koji je od vektora (1,2,0,2) i (2,0,2,0)
manje udaljen od potprostora [S].
2.
Neka je V realni unitarni prostor i II II norma na V
inducirana skalarnim množenjem. Nadalje, neka je a ∈ V
jedinični vektor.
(a) Odredite skup M svih rješenja jednadžbe
II 2x + a II = II x + 2a II u prostoru V.
Je li M potprostor od V?
(b) Uz dodatnu pretpostavku da je V konačnodimenzionalan
prostor, sadrži li M neku ortonormiranu bazu prostora V?
Obrazložite zaključak.
Rješenja.
1.
Gramova matrica G = [ 4 8 -4 // 8 22 -17 // -4 -17 30].
Pokaže se da je ranga 3 ili da det G = 300, različito od 0.
ONB za [S]:
{1/2 (1,1,1,1), 1/sqrt(6) (-1,-1,0,2), 1/5sqrt(2) (1,3,-6,2)}.
Za udaljenost nekog vektora v od [S], budući da je to
3-dim. potprostor, najlakše je odrediti ortogonalni
komplement tog potprostora i zatim normu
komponente iz [S]^ort u rastavu vektora v.
[S]^ort je razapet vektorom n = (13,-11,-3,1)
(riješi se homogeni sustav uvjeta ortogonalnosti na vektore
iz S) pa se računa skalarni produkt (v,n).
Vektor za koji je apsolutna vrijednost tog skalarnog
produkta manja jest vektor bliži potprostoru [S].
To je ovdje (1,2,0,2).
2.
Kvadriranjem i pojednostavljivanjem, zadana
jednadžba svodi se na jednakost normi vektora x i a,
što znači da svi jedinični vektori u V čine skup M
rješenja jednadžbe. M očito nije potprostor
(ne sadrži nulvektor, nija zatvoren na množenje skalarom...).
No, ako je V konačnodimenzionalan, svakako ima
ortonormiranu bazu i svaka ortonormirana baza
sadržana je onda u skupu M.
1.
Pomoću Gramove matrice ispitajte linearnu nezavisnost
podskupa S = {(1,1,1,1,), (1,1,2,4), (1,2,-4,-3)} unitarnog
prostora R^4.
Ako je S linearno nezavisan, ortonormirajte ga primjenom
Gram-Schmidtovog postupka.
Izračunajte koji je od vektora (1,2,0,2) i (2,0,2,0)
manje udaljen od potprostora [S].
2.
Neka je V realni unitarni prostor i II II norma na V
inducirana skalarnim množenjem. Nadalje, neka je a ∈ V
jedinični vektor.
(a) Odredite skup M svih rješenja jednadžbe
II 2x + a II = II x + 2a II u prostoru V.
Je li M potprostor od V?
(b) Uz dodatnu pretpostavku da je V konačnodimenzionalan
prostor, sadrži li M neku ortonormiranu bazu prostora V?
Obrazložite zaključak.
Rješenja.
1.
Gramova matrica G = [ 4 8 -4 // 8 22 -17 // -4 -17 30].
Pokaže se da je ranga 3 ili da det G = 300, različito od 0.
ONB za [S]:
{1/2 (1,1,1,1), 1/sqrt(6) (-1,-1,0,2), 1/5sqrt(2) (1,3,-6,2)}.
Za udaljenost nekog vektora v od [S], budući da je to
3-dim. potprostor, najlakše je odrediti ortogonalni
komplement tog potprostora i zatim normu
komponente iz [S]^ort u rastavu vektora v.
[S]^ort je razapet vektorom n = (13,-11,-3,1)
(riješi se homogeni sustav uvjeta ortogonalnosti na vektore
iz S) pa se računa skalarni produkt (v,n).
Vektor za koji je apsolutna vrijednost tog skalarnog
produkta manja jest vektor bliži potprostoru [S].
To je ovdje (1,2,0,2).
2.
Kvadriranjem i pojednostavljivanjem, zadana
jednadžba svodi se na jednakost normi vektora x i a,
što znači da svi jedinični vektori u V čine skup M
rješenja jednadžbe. M očito nije potprostor
(ne sadrži nulvektor, nija zatvoren na množenje skalarom...).
No, ako je V konačnodimenzionalan, svakako ima
ortonormiranu bazu i svaka ortonormirana baza
sadržana je onda u skupu M.
|
