Rješenja 1. i 4. zadatka s kolokvija

[Juraj Siftar]

Rješenja 1. i 4. zadatka s kolokvija
(zadaci pisani malo skraćeno).

1. zadatak:

Neka je {i,j} ortonormirana baza za V2(O),
(x,y) koordinate vektora u toj bazi. Zadane su
sljedeće matrice:

R - rotacija za pravi kut
Z - zrcaljenje s obzirom na potprostor x = y
P - ortogonalna projekcija na potprostor x+y = 0
S - ort. projekcija na x=0.

(a) Ako je A lin. operator na M2(R) koji matrice
R, Z, P, S preslikava redom u njihove kvadrate
R^2, Z^2, P^2 i S^2, odredite rang i defekt
tog operatora. U slučaju pozitivnog defekta,
odredite bazu jezgre Ker A.

(b) Prikažite jediničnu matricu I kao lin. komb.
matrica R, Z, P i S te izračunajte A(I).

Napomena - zadatak se može riješiti i bez
određivanja matrice operatora A.

Rješenje - moguća su i rješenja pomoću matrice
operatora A (s tim da se može raditi u kanonskoj
bazi prostora M2(R) ili u bazi {R,Z,P,S} - kad
se ustanovi da je to baza).
Ovdje ću pisati kraću varijantu.

Iz očitih geometrijskih razloga, a može i kvadriranjem,
R^2 = -I, Z^2 = I, P^2 = P i S^2 = S.
Stoga, kako je {R,Z,P,S} baza (lako se ustanovi
da je to lin. nezavisan skup, što je dovoljno),
r(A) = dim [ {I, -I, P, S} ] = 3.
Dimenzija se dobije time što je {I, P, S}
linearno nezavisan, a matrice, pisane po stupcima
su
P = [ 1/2 -1/2 // -1/2 1/2 ], S = [0 0 // 0 1].

Zbog A(R) + A(Z) = -I + I = O, Ker A = [R+Z].


(b) Lako se vidi da je I = Z + 2P, stoga je
A(I) = I + 2P = Z + 4P = [ 2 -1 // -1 2].


4. zadatak:

(a) Definirati relaciju sličnosti matrica.

(b) Zadana je matrica (pisano po stupcima)

A = [ 1 0 0 // a 1 0 // 1 0 a].

Može li se izabrati realni broj a tako da A bude
matrični zapis nekog projektora na 3-dim.
vektorskom prostoru?

(c) Pitanje kao pod (b), ali da bude matrični zapis
operatora zrcaljenja s obzirom na neki potprostor.

Rješenje:

(b) Nužan i dovoljan uvjet za projektor jest A^2 = A,
kvadriranjem A vidi se da je to ispunjeno
ako i samo ako a = 0.

(c) Za bilo koje zrcaljenje kvadrat matrice treba biti I
(jedinična matrica). U ovom slučaju lako se
dobiva da ne postoji takav a, jer bi moralo
istodobno vrijediti a = 0 i a = -1.
Dulji način - može se izračunati da matrica A nije
slična matrici zrcaljenja , diag [ 1 1 -1] ili
diag [ 1 -1 -1] ili (trivijalno) I, -I.

[Juraj Siftar]

Jedna primjedba u vezi s 1. zadatkom, nakon
uvida u sve radove tokom ispravljanja/bodovanja.

U dosta velikom (svakako prevelikom) broju pokušaja
rješavanja nalazi se zaključak da linearni operator A
djeluje tako da svakoj matrici pridruži njezin kvadrat.
To je brzopleti i očito pogrešan zaključak na temelju toga
što je A zadan tako da matricama iz jedne određene baze
pridružuje kvadrate tih matrica:

"Ako je A lin. operator na M2(R) koji matrice
R, Z, P, S preslikava redom u njihove kvadrate
R^2, Z^2, P^2 i S^2... ".

Kvadriranje matrica nipošto nije linearni operator
(ne vrijedi ni aditivnost ni homogenost).
Dakle, nije istina da A(X) = X^2 za svaku matricu X
(kvadratnu reda 2 u ovom slučaju).

No, linearni operator (po jednom od ključnih rezultata)
jednoznačno je zadan djelovanjem na (bilo koju) bazu,
tako da su vektorima te baze pridruženi po volji
odabrani vektori iz kodomene.

Proširenjem po linearnosti dobiva se djelovanje tog
linearnog operatora na sve vektore domene.

Primjerice, u ovom slučaju, ako je zadano A(R) = R^2
i A(S) = S^2, to nipošto ne znači da je zato
A(R + S) = (R+S)^2 nego
A(R+S) = A(R) + A(S) = R^2 + S^2.

Odnosno, za aditivnost općenito, (X+Y)^2 nije jednako
X^2 + Y^2, premda postoje neke takve matrice X i Y
za koje XY + YX = O pa za takve vrijedi da je kvadrat
njihovog zbroja jednak zbroju kvadrata.

U ovom zadatku izabrano je kvadriranje zadanih matrica
zato što daje vrlo jednostavne matrice - dva od zadanih
preslikavanja su projektori pa su im matrice jednake
svojim kvadratima, zatim kvadrat matrice (svakog)
zrcaljenja je jedinična matrica I, a kvadrat matrice rotacije
za pravi kut je rotacija za 180 stupnjeva, tj. centralna
simetrija s matricom - I.

Zbog toga je, kad se jednom točno odrede matrice
R, Z, P i S, cijeli daljnji račun lagan i može se provesti
i bez matrice (reda 4) operatora A.