Rješenja 1. i 4. zadatka s kolokvija
(zadaci pisani malo skraćeno).
[u]1. zadatak[/u]:
Neka je {i,j} ortonormirana baza za V2(O),
(x,y) koordinate vektora u toj bazi. Zadane su
sljedeće matrice:
R - rotacija za pravi kut
Z - zrcaljenje s obzirom na potprostor x = y
P - ortogonalna projekcija na potprostor x+y = 0
S - ort. projekcija na x=0.
(a) Ako je A lin. operator na M2([b]R[/b]) koji matrice
R, Z, P, S preslikava redom u njihove kvadrate
R^2, Z^2, P^2 i S^2, odredite rang i defekt
tog operatora. U slučaju pozitivnog defekta,
odredite bazu jezgre Ker A.
(b) Prikažite jediničnu matricu I kao lin. komb.
matrica R, Z, P i S te izračunajte A(I).
Napomena - zadatak se može riješiti i bez
određivanja matrice operatora A.
[u]Rješenje[/u] - moguća su i rješenja pomoću matrice
operatora A (s tim da se može raditi u kanonskoj
bazi prostora M2([b]R[/b]) ili u bazi {R,Z,P,S} - kad
se ustanovi da je to baza).
Ovdje ću pisati kraću varijantu.
Iz očitih geometrijskih razloga, a može i kvadriranjem,
R^2 = -I, Z^2 = I, P^2 = P i S^2 = S.
Stoga, kako je {R,Z,P,S} baza (lako se ustanovi
da je to lin. nezavisan skup, što je dovoljno),
r(A) = dim [ {I, -I, P, S} ] = 3.
Dimenzija se dobije time što je {I, P, S}
linearno nezavisan, a matrice, pisane po stupcima
su
P = [ 1/2 -1/2 // -1/2 1/2 ], S = [0 0 // 0 1].
Zbog A(R) + A(Z) = -I + I = O, Ker A = [R+Z].
(b) Lako se vidi da je I = Z + 2P, stoga je
A(I) = I + 2P = Z + 4P = [ 2 -1 // -1 2].
[u]4. zadatak[/u]:
(a) Definirati relaciju sličnosti matrica.
(b) Zadana je matrica (pisano po stupcima)
A = [ 1 0 0 // a 1 0 // 1 0 a].
Može li se izabrati realni broj a tako da A bude
matrični zapis nekog projektora na 3-dim.
vektorskom prostoru?
(c) Pitanje kao pod (b), ali da bude matrični zapis
operatora zrcaljenja s obzirom na neki potprostor.
[u]Rješenje[/u]:
(b) Nužan i dovoljan uvjet za projektor jest A^2 = A,
kvadriranjem A vidi se da je to ispunjeno
ako i samo ako a = 0.
(c) Za bilo koje zrcaljenje kvadrat matrice treba biti I
(jedinična matrica). U ovom slučaju lako se
dobiva da ne postoji takav a, jer bi moralo
istodobno vrijediti a = 0 i a = -1.
Dulji način - može se izračunati da matrica A nije
slična matrici zrcaljenja , diag [ 1 1 -1] ili
diag [ 1 -1 -1] ili (trivijalno) I, -I.
Rješenja 1. i 4. zadatka s kolokvija
(zadaci pisani malo skraćeno).
1. zadatak:
Neka je {i,j} ortonormirana baza za V2(O),
(x,y) koordinate vektora u toj bazi. Zadane su
sljedeće matrice:
R - rotacija za pravi kut
Z - zrcaljenje s obzirom na potprostor x = y
P - ortogonalna projekcija na potprostor x+y = 0
S - ort. projekcija na x=0.
(a) Ako je A lin. operator na M2(R) koji matrice
R, Z, P, S preslikava redom u njihove kvadrate
R^2, Z^2, P^2 i S^2, odredite rang i defekt
tog operatora. U slučaju pozitivnog defekta,
odredite bazu jezgre Ker A.
(b) Prikažite jediničnu matricu I kao lin. komb.
matrica R, Z, P i S te izračunajte A(I).
Napomena - zadatak se može riješiti i bez
određivanja matrice operatora A.
Rješenje - moguća su i rješenja pomoću matrice
operatora A (s tim da se može raditi u kanonskoj
bazi prostora M2(R) ili u bazi {R,Z,P,S} - kad
se ustanovi da je to baza).
Ovdje ću pisati kraću varijantu.
Iz očitih geometrijskih razloga, a može i kvadriranjem,
R^2 = -I, Z^2 = I, P^2 = P i S^2 = S.
Stoga, kako je {R,Z,P,S} baza (lako se ustanovi
da je to lin. nezavisan skup, što je dovoljno),
r(A) = dim [ {I, -I, P, S} ] = 3.
Dimenzija se dobije time što je {I, P, S}
linearno nezavisan, a matrice, pisane po stupcima
su
P = [ 1/2 -1/2 // -1/2 1/2 ], S = [0 0 // 0 1].
Zbog A(R) + A(Z) = -I + I = O, Ker A = [R+Z].
(b) Lako se vidi da je I = Z + 2P, stoga je
A(I) = I + 2P = Z + 4P = [ 2 -1 // -1 2].
4. zadatak:
(a) Definirati relaciju sličnosti matrica.
(b) Zadana je matrica (pisano po stupcima)
A = [ 1 0 0 // a 1 0 // 1 0 a].
Može li se izabrati realni broj a tako da A bude
matrični zapis nekog projektora na 3-dim.
vektorskom prostoru?
(c) Pitanje kao pod (b), ali da bude matrični zapis
operatora zrcaljenja s obzirom na neki potprostor.
Rješenje:
(b) Nužan i dovoljan uvjet za projektor jest A^2 = A,
kvadriranjem A vidi se da je to ispunjeno
ako i samo ako a = 0.
(c) Za bilo koje zrcaljenje kvadrat matrice treba biti I
(jedinična matrica). U ovom slučaju lako se
dobiva da ne postoji takav a, jer bi moralo
istodobno vrijediti a = 0 i a = -1.
Dulji način - može se izračunati da matrica A nije
slična matrici zrcaljenja , diag [ 1 1 -1] ili
diag [ 1 -1 -1] ili (trivijalno) I, -I.
|