|
Upravo je objavljena 2. domaća zadaća.
Iako su svi dobili mailom osnovne informacije
o pogreškama u rješenjima 1. zadaće, želim navesti
neke česte zabune i krive zaključke. To su uglavnom
tipične "početničke" pogreške pri upoznavanju
novih pojmova i ispravljaju se vježbanjem, ali ima
i nekih logičkih pogrešaka koje nisu stvar "dublje"
matematike.
- U 5.(d) zadatku riječ je o skupu K, podskupu skupa
kompleksnih brojeva čija je 2020. potencija jednaka 1.
U skriptama Primjer 4. bavi se upravo time, ali općenito,
za n-te korijene jedinice, dok je u ovom zadatku samo
"prigodno" izabrano n = 2020.
Jedna od pogrešaka - da je K = { 1, -1, i, -i}, što su
4. korijeni jedinice. No, K zapravo ima 2020 elemenata
i znamo točno napisati sve njih. Među njima su i 4.
korijeni jedinice (kao grupa od 4 elementa unutar grupe
od 2020 elemenata).
Naime, dolazilo je do miješanja ponašanja potencija broja [i]i[/i],
koje se ponavljaju u ciklusima po 4 i općenito kompleksnog
broja z.
Ako je z^2020 = 1, to znači da npr. (z^505)^4 = 1,
ali odatle ne slijedi da je z^4 = 1, nego da je z^505
4. korijen jedinice te z^505 može biti bilo koji od
brojeva 1, -1, i, -i.
Međutim, za rješavanje zadatka uopće nije potrebno
raditi s eksplicitnim izrazima za 2020. korijene jedinice,
nego samo s definicijskom relacijom z^2020 = 1.
Jako česta pogreška: provjeravanje asocijativnosti tako
da se umjesto za z1, z2, z3 "provjerava" za njihove 2020.
potencije...koje su jednake 1.
Dosta je lako razumijeti zabunu, kad se brzopleto uvede
z^2020 = 1 u relaciju (potenciranjem s 2020), što je posve
suvišno i pogrešno.
Nije ekvivalentno (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3) i
jednakost njihovih 2020. potencija, koja glasi (1 1) 1 = 1 (1 1).
Čista logička zabuna da se jedna implikacija pomiješa
s ekvivalencijom (niti 1 i -1 nisu jednaki, premda su im
kvadrati jednaki, to je isti tip pogreške)
Ovo je dolazilo do izražaja i kod drugih svojstava,
da sad ne razglabam, a preporučam ipak pažljivo
pročitati spomenuti Primjer 4. i ponoviti osnovne
činjenice o kompleksnim brojevima.
- Na više mjesta bilo je uobičajenih nesnalaženja kod
provjere zatvorenosti, odnosno da zadani skup sa
zadanom operacijom čini grupoid. Savjet je da se
uvijek pažljivo pogleda taj uvjet, jer katkad je trivijalan
ili očigledan, ali ne uvijek. Čak i kad se provjera
svodi na vrlo lagani račun, treba spomenuti i obrazložiti.
U rješavanje 4. i 8. zadatka upustilo se (barem po
primljenim uzorcima) jako malo studenata pa bi bilo
važno i tim zadacima posvetiti više pozornosti (i rada), jer
uopće nisu teški, a značajno doprinose razumijevanju
pojmova.
O 4. zadatku već sam dosta napisao ovdje na forumu,
a 8. zadatak pruža jako važnu interpretaciju geometrijskih
činjenica pomoću strukture grupe.
Upravo je objavljena 2. domaća zadaća.
Iako su svi dobili mailom osnovne informacije
o pogreškama u rješenjima 1. zadaće, želim navesti
neke česte zabune i krive zaključke. To su uglavnom
tipične "početničke" pogreške pri upoznavanju
novih pojmova i ispravljaju se vježbanjem, ali ima
i nekih logičkih pogrešaka koje nisu stvar "dublje"
matematike.
- U 5.(d) zadatku riječ je o skupu K, podskupu skupa
kompleksnih brojeva čija je 2020. potencija jednaka 1.
U skriptama Primjer 4. bavi se upravo time, ali općenito,
za n-te korijene jedinice, dok je u ovom zadatku samo
"prigodno" izabrano n = 2020.
Jedna od pogrešaka - da je K = { 1, -1, i, -i}, što su
4. korijeni jedinice. No, K zapravo ima 2020 elemenata
i znamo točno napisati sve njih. Među njima su i 4.
korijeni jedinice (kao grupa od 4 elementa unutar grupe
od 2020 elemenata).
Naime, dolazilo je do miješanja ponašanja potencija broja i,
koje se ponavljaju u ciklusima po 4 i općenito kompleksnog
broja z.
Ako je z^2020 = 1, to znači da npr. (z^505)^4 = 1,
ali odatle ne slijedi da je z^4 = 1, nego da je z^505
4. korijen jedinice te z^505 može biti bilo koji od
brojeva 1, -1, i, -i.
Međutim, za rješavanje zadatka uopće nije potrebno
raditi s eksplicitnim izrazima za 2020. korijene jedinice,
nego samo s definicijskom relacijom z^2020 = 1.
Jako česta pogreška: provjeravanje asocijativnosti tako
da se umjesto za z1, z2, z3 "provjerava" za njihove 2020.
potencije...koje su jednake 1.
Dosta je lako razumijeti zabunu, kad se brzopleto uvede
z^2020 = 1 u relaciju (potenciranjem s 2020), što je posve
suvišno i pogrešno.
Nije ekvivalentno (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3) i
jednakost njihovih 2020. potencija, koja glasi (1 1) 1 = 1 (1 1).
Čista logička zabuna da se jedna implikacija pomiješa
s ekvivalencijom (niti 1 i -1 nisu jednaki, premda su im
kvadrati jednaki, to je isti tip pogreške)
Ovo je dolazilo do izražaja i kod drugih svojstava,
da sad ne razglabam, a preporučam ipak pažljivo
pročitati spomenuti Primjer 4. i ponoviti osnovne
činjenice o kompleksnim brojevima.
- Na više mjesta bilo je uobičajenih nesnalaženja kod
provjere zatvorenosti, odnosno da zadani skup sa
zadanom operacijom čini grupoid. Savjet je da se
uvijek pažljivo pogleda taj uvjet, jer katkad je trivijalan
ili očigledan, ali ne uvijek. Čak i kad se provjera
svodi na vrlo lagani račun, treba spomenuti i obrazložiti.
U rješavanje 4. i 8. zadatka upustilo se (barem po
primljenim uzorcima) jako malo studenata pa bi bilo
važno i tim zadacima posvetiti više pozornosti (i rada), jer
uopće nisu teški, a značajno doprinose razumijevanju
pojmova.
O 4. zadatku već sam dosta napisao ovdje na forumu,
a 8. zadatak pruža jako važnu interpretaciju geometrijskih
činjenica pomoću strukture grupe.
|
