Važno - o rješavanju 2. domaće zadaće

[Juraj Siftar]

Ovih dana pristižu rješenja 2. domaće zadaće.

Kao i za 1. zadaću, svima odgovaram pojedinačno,
tempom koliko već mogu, a tako ću i nastaviti.

No, pokazuje se da su mnogi pokušaji rješenja pogrešni,
zbog nerazumijevanja pojmova i/ili površnog pristupa,
a posebno se čini lošim što dosta tih pogrešnih rješenja
izgleda gotovo identično - kao da su kopirana iz manjeg
broja izvora.

U pogledu vremena postaje jako teško i nedjelotvorno
svima pojedinačno nabrajati uglavnom iste pogreške i propuste
pa ću ovdje napisati neke od najvažnijih primjedbi i uputa.

Istina je da zbog nastalih okolnosti nema uobičajenih vježbi
koje bi mogle znatno pomoći (i) u rješavanju zadaća, ali
uz pažljivije čitanje dostupnih materijala i postavljanje pitanja
nastavnicima sve se to može riješiti.

Ponovno upozoravam, što sam naglašavao i na predavanjima,
da je jako loše prepisivati, bez razumijevanja i da je bolje ne
slati ništa nego samo formalno ispunjavati obavezu na pogrešan
način. Radije e-mailom prvo pošaljite pitanja o rješavanju, nego
pogrešna i pritom prepisana "rješenja".

U nastavku ću iznijeti najavljene upute i primjedbe.

[Juraj Siftar]

Najčešće zastupljeni propusti i pogreške odnose se
na provjeru svojstva "zatvorenosti", koje se u mnogim
rješenjima jednostavno ignorira/zanemaruje ili se možda
samo navede kao "ispunjeno" bez ikakvog računanja
ili argumenta. (Zapravo, u nekim zadacima to svojstvo
uopće nije ispunjeno).

Pritom, ovakvi propusti češći su u zadacima koji se
odnose na vektorski prostor, iako nema bitne razlike
u pristupu ako je riječ o npr. prstenu ili o vektorskom
prostoru.
S druge strane, i dalje se "raspisuju" svojstva koja su
naslijeđena (poput asocijativnosti, komutativnosti i
distributivnost), a i to katkad pogrešno.

Konkretnije (iako nije stvar samo u tim zadacima),
u zadacima 4. - 7. kontekst je uvijek takav da je
zadan stanovit podskup nekog vekorskog prostora V
koji se smatra poznatim (u smislu, da znamo iz
osnovnih primjera da to jesu vektorski prostori).

Potrebno je onda ispitati je li taj podskup i sam
vektorski prostor, s operacijama iz spomenutog
prostora, kao što je V^3, R^4, C^4, P_2 (R) i R^R.

"Bilo kakav" podskup sigurno ne mora biti i sam
vektorski prostor, a prvi - po uobičajenom redoslijedu
iz definicije - uvjet je taj da zbroj svaka dva vektora
iz podskupa, nazovimo ga A, također pripada baš
tom podskupu A.
Pogrešna "provjera" katkad se vidi u tome da se samo
konstatira da je takav zbroj vektora također iz V -
što je već poznato, dakako, i nije loše i to navesti,
samo bitan je propust ne pokazati da se dobiveni
vektor nalazi baš u A.

Naglašavam, jedan je problem ako se provjera ne
izvede korektno, ali puno veći problem je ako se
uopće "ne vidi" da je ta provjera (zatvorenosti)
potrebna.

Pogledajmo 4. zadatak.
Podskup prostora R^3 ovdje čine vektori oblika
(x, 2(x+y), y).
Je li taj podskup jednak cijelom prostoru?
Očito nije, jer npr. (1,1,1) ili (1,0,0) nisu u tom
podskupu.

Kako prepoznajemo vektore koji jesu u tom
podskupu?
Prva i treća koordinata biraju se slobodno,
to su varijabilni x, y iz R, ali druga koordinata
ne bira se po volji nego je to dvostruki
zbroj prve i treće.
Sad su pitanja zatvorenosti - pripada li zbroj
svaka dva vektora takvog oblika skupu A te
pripada li umnožak takvog vektora bilo kojim
realnim brojem također skupu A.

Sam račun je jednostavan, ali treba ga izvesti
s razumijevanjem što se radi.

Pogledajmo sad sličan, ali ipak dosta različit
slučaj u zadatku 5.(a).
Zadani podskup čine vektori oblika
(x, y-1, -y, x).
Kakav je sad to oblik? Prva i četvrta koordinata
su jednake, to je varijabilni x.
U drugoj i trećoj x se ne pojavljuje, ali
za varijabilni y te su koordinate y-1 i -y.
Njihov zbroj je -1.

Ako izaberemo npr. y = 0, onda je
to vektor oblika (x, -1, 0, x).
Izaberemo li y = 2/3, bit će to (x, -1/3, -2/3, x).
(x može biti bilo koji).

Kad zbrojimo navedena dva vektora,
dobivamo (2x, -4/3, -2/3, 2x).
Prva i četvrta koordinata jednake su, u redu,
no zbroj druge i treće iznosi -6/3 = -2.
U osnovnom obliku zbroj je -1.
Dakle, već odatle vidimo da ne vrijedi
zatvorenost, a to se napiše i općenito,
za zbroj dva vektora iz podskupa.
Proturječje je uvijek u tome da - 1 i -2
nisu jednaki.

Usput, već smo vidjeli da (0,0,0,0)
ne pripada zadanom podskupu pa ni po
tome on ne može biti vektorski prostor.

Korisno je provjeriti i (ne)zatvorenost
na množenje skalarima iz R,
bez obzira što već znamo da za zbrajanje
nije grupoid pa ni ukupno to nije vektorski
prostor.

Razumijevanje ovih zadataka, barem sada
ako ga već nije bilo prije, značajno bi
pomoglo onima kojima cijela stvar dosad
nije bila jasna.
Kasnije ću dodati još neke primjedbe/primjere,
a zasad je ovo dosta.

[Juraj Siftar]

Još malo dalje, o nekim pojmovima,
s naglaskom na 2. zadaću.

Dosta poteškoća izazvali su i zadaci koji se
odnose na skup svih realnih funkcija
realne varijable, u oznaci R^R.

Istina je da je taj skup teško "zamisliti", jer -
da kopiram iz drugog posta otprije nekoliko
dana, u primjerima o linearnoj ljusci:
Osim svih polinoma, svih eksponencijalnih funkcija a^x,
nekih od trigonometrijskih funkcija poput sin x, cos x,
sin(ax+b), funkcije IxI itd,
ovaj prostor sadrži i različite “čudne” funkcije,
uglavnom nepregledno obilje funkcija.

No, to "nepregledno obilje" nimalo nam ne otežava
provjeru nekih jednostavnih svojstava ako
razumijemo što treba provjeriti.

R^R je grupa, i to komutativna, s obzirom
na zbrajanje funkcija.
Promatra li se još i množenje funkcija (također "po točkama")
dobiva se komutativni prsten s jedinicom.
("Jedinica" je konstantna funkcija s vrijednosti 1, dok je
"nula" konstanta funkcija s vrijednosti 0).

Kad se uz zbrajanje funkcija uzme još i množenje
funkcija realnim brojevima kao skalarima, dobiva
se vektorski prostor.

U 3. zadatku naglasak je bio na R^R kao prstenu,
a u 6. kao vektorskom prostoru. Zadana su tri podskupa,
A, B i C pa se pita je li svaki od njih također prsten,
odnosno vektorski prostor.

Pogledajmo B, podskup koji čine sve funkcije f sa
svojstvom da f(1) + f(-1) = 0.

Uglavnom uopće ne trebamo "pobliže poznavati"
taj podskup, jer nećemo ni trebati računati s konkretnim
funkcijama, osim što nam treba konstanta 0
kao neutralni element za zbrajanje.
Konstanta 0 očito pripada skupu B, jer 0 + 0 = 0.

Potrebno je provjeriti zatvorenost (za vektorski prostor):
(1) pripada li zbroj dviju funkcija iz B također skupu B?
(2) pomnožimo li bilo koju funkciju iz B bilo kojim realnim
brojem, je li dobivena funkcija također u B?

To nije sve što treba provjeriti, ali zadržimo se zasad
na zatvorenosti kao "glavnom" problemu.

(1) Ako su f i g takve da je f(1) + f(-1) = 0 i g(1) + g(-1) = 0,
ima li i f+g odgovarajuće svojstvo?
(2) Ako je a realan broj, a za funkciju f vrijedi f(1) + f(-1) = 0 .
vrijedi li to svojstvo i za funkciju a f ?
(Jasno, (af)(x) = a f(x)).

Račun je sada krajnje jednostavan, kad su pitanja postavljena
jasno, ali to je napisano u jako malom broju zadaća.
Ova pitanja su obično ili sasvim zanemarena ili je napisano
nešto u smislu da B sa zbrajanjem "očito" čini Abelovu grupu.

Napomena: kad se gleda prsten, onda se provjerava ima li
i produkt fg svojstvo kojim je definiran skup B. I to je lako,
ali valja pripaziti.

Usput, nije loše (za razumijevanje, ne za formalno rješenje
zadatka) prisjetiti se nekoliko primjera funkcija koje pripadaju
skupu B.
Tako npr. sve neparne funkcije pripadaju tom skupu,
jer ako je f(-x) = - f(x), onda je f(x) + f(-x) = 0
pa, posebno, i f(1) + f(-1) = 0.

Tu su, dakle, polinomi (ukratko pisano) x, x^3,..., x^(2n+1),... za
svaki prirodni broj n pa funkcije sin x, sin (ax) itd.

Ako B jest vektorski prostor, onda su i sve linearne
kombinacije funkcija iz B ( to slijedi iz zatvorenosti)
također u B. (Jesu li?)

Ako B jest prsten, onda je i umnožak svakih dviju funkcija
iz B također u B. (Je li to istina? Uzmite neke od gornjih
primjera pa pomnožite).

I još: svojstva množenja skalarom, osim zatvorenosti,
nasljeđuju se iz "cijelog" prostora R^R.
To treba iskazati, ali nema se što raspisivati
(ako se smatra poznatim, kao ovdje) da R^R jest
vektorski prostor.

Usporedba 3. i 6. zadatka korisna je za vježbanje
operacija s funkcijama i razlikovanje prstena i
vektorskog prostora, između ostalog.

Preostale pojedinosti za B, pa tako i za A i C,
ne bi trebale biti teške.