Rješenja 3. domaće zadaće pristižu u dosta velikom
broju, a pritom se često postavlja pitanje o načinu
rješavanja 7. zadatka. To se moglo i očekivati, zbog
nedostatka iskustva u rješavanju takvih zadataka pa
slijede upute (ne i cjelovita rješenja, korisnije je da
se primjenom uputa do njih dođe s nešto samostalnog
rada).
U sva tri podzadatka pitanje glasi - je li zadani skup S
sustav izvodnica navedenog prostora, s tim da je
pod (b) i (c) zadan isti skup uređenih trojki kompleksnih
brojeva, samo što se jedanput promatra u prostoru
[b]C[/b]^3 nad poljem [b]C[/b], a drugi put u [b]C[/b]^3 nad poljem [b]R[/b].
Skup S u svakom od primjera je beskonačan skup.
(a) Prostor je [b]R[/b]^3, a S je skup svih vektora (x,y,z) za koje xyz = 0.
Pitanje je može li se svaki vektor prikazati kao linearna
kombinacija nekih vektora za koje vrijedi zadani uvjet.
Ovo se može (ali ne mora) povezati s primjerom koji sam
napisao za linearnu ljusku, gdje je prostor [b]R[/b]^2, a
uvjet glasi xy = 1.
U skupu S "imamo na raspolaganju" sve moguće (x,y,z)
za koje barem jedna koordinata (komponenta) ima vrijednost 0.
Jedan način: malo "pogađanja" koji bi (čim jednostavniji)
vektori iz S bili prikladni da generiraju cijeli [b]R[/b]^3.
Drukčije, dovoljno bi bilo izabrati neki otprije poznati sustav
izvodnica tog prostora, pa umjesto "svih odjednom" vektora
pokušati samo te vektore prikazati kao linearne
kombinacije vektora iz S.
Naime, ako je npr. [ M] = [b]R[/b]^3, pri čemu je M neki
(neveliki) podskup i ako se svaki vektor iz M nalazi u [S],
onda je [M] sadržan u [S] pa je cijeli [b]R[/b]^3 sadržan u [S],
dakle [b]R[/b]^3 = [S].
Sad nije potrebno puno "mašte" za izbor pogodnog skupa
M, ako se pročitalo barem osnovne primjere sustava
izvodnica, odnosno posebno baze.
(b) i (c).
Stvar je slična, ali ipak malo složenija, jer je riječ o
kompleksnim brojevima i uvjetu izraženom pomoću
kompleksnog konjugiranja.
Ovdje ću konjugirani broj od z označavati sa z*.
Dakle, S je skup vektora oblika (z1, z2, z2*) u [b]C[/b]^3.
Pristup je sasvim sličan kao u (a).
U nekim primljenim rješenjima izabralo se, sasvim
logično, nekoliko najjednostavnijih vektora iz S,
najčešće (1,0,0), (0,1,1) te (0,i,-i).
To je dobar izbor pa preostaje samo izravnim računom
(za (b)) ispitati može li se svaki (z1, z2, z3)
prikazati kao linearna kombinacija navedenih.
Ovdje opet za (b)) nije ni potrebno ni povoljno
rastavljati na realni i imaginarni dio nego
koeficijente tražiti kao kompleksne brojeve.
Očito je (z1, z2, z3) = z1 (1,0,0) + (0,z2, z3),
tako da jedan koeficijent odmah vidimo.
Preostaje riješiti jednadžbu
(0,z2, z3) = x (0,1,1) + y(0,i,-i) gdje su x, y iz [b]C[/b].
Naravno, dobiva se sustav od 2 jednadžbe
s 2 nepoznanice x, y.
Imamo li ikakvu sigurnost da će postojati rješenje?
Da, ako smo naučili malo više "teorije" (što se
ovdje ne pretpostavlja kao nužno, ali sad već učimo
te pojmove pa ih nećemo zanemariti).
Koliko minimalno trebamo vektora za sustav izvodnica
od [b]C[/b]^3? Imamo li ih ovdje toliko?
Kakav je skup { (1,0,0), (0,1,1), (0,i,-i)} što se tiče
linearne (ne)zavisnosti?
U prethodnom, izabrali smo tri vektora koji nam se
čine podesnima. Opet, kao u (a), mogli smo također
birati prvo skup M kao neki poznati sustav izvodnica
(najbolje - bazu) pa onda svaki od njegovih vektora
pokušati prikazati kao lin. kombinaciju trojki oblika
(z1, z2, z2*). Nije teško.
U svakom slučaju, ovo je dovoljno uputa za (b).
U (c) imamo dodatno ograničenje da koeficijenti
u prikazu općeg vektora (z1, z2, z3) kao linearne
kombinacije nekih vektora posebnog oblika (iz S)
moraju biti samo realni brojevi.
Ovdje će trebati rastavljati neke kompleksne brojeve
na realni i imaginarni dio.
U nekim rješenjima, gdje se otprije zna više ili je
više pročitano dalje iz skripata, dosta brzo (i ispravno)
zaključeno je da S nije sustav izvodnica, jer je
[S] potprostor dimenzije 4 u prostoru dimenzije 6
pa se linearnim kombinacijama s realnim koeficijentima
ne mogu dobiti svi vektori iz [b]C[/b]^3.
Ovaj stupanj znanja nije se podrazumijevao za 3. zadaću,
naravno, ali kako je i to gradivo neposredno pred nama,
nije loše odmah naznačiti u čemu je stvar.
No, idemo redom, jednostavnim rješavanjem.
Opći vektor iz S sad izgleda ovako:
(z1, z2, z2*) = (x1 + y1 i, x2 + y2 i, x2 - y2 i)
pri čemu su, jasno, svi x,y [i]realni[/i] brojevi.
Dalje je to realna lin. kombinacija:
x1 (1,0,0) + x2 (0,1,1) + y1 (i, 0, 0) + y2 (0,i,-i).
Sad je [S] = [(1,0,0), (0,1,1), (i,0,0), (0,i,-i)].
Pitanje je - može li se svaki (a + bi, c + di, e + fi)
(a,b,c,d,e, f realni) prikazati kao realna lin.
kombinacija vektora (1,0,0), (0,1,1), (i,0,0), (0,i,-i) ?
Neki će (a neki već jesu) dosta brzo uočiti neki
konkretni vektor iz [b]C[/b]^3 koji se ne može prikazati
na navedeni način, a može se i rješavati sustav sa
4 nepoznanice (malo nezgrapno, ali moguće).
Također, umjesto rješavanja sustava, može se, opet,
za neki poznati sustav izvodnica (čim manji, po mogućnosti)
pokušati svaki njegov vektor prikazati pomoću
navedena 4 vektora, pa ako se to ne uspije izvesti za sve -
odgovor je negativan.
Rezime: u svakom od podzadataka treba jasno
prepoznati vektore koji čine zadani skup S pa onda
ispitati može li se [i]svaki[/i] vektor prostora prikazati
kao linearna kombinacija "[i]posebnih[/i]" vektora, iz skupa S.
Prikladno je olakšati taj posao reduciranjem na
traženje prikaza samo nekih istaknutih vektora
(iz već poznatog sustava izvodnica, najbolje - baze).
Ovdje su zadaci takvi da se prilično lako može
naći povoljan izbor nekoliko vektora iz S koji
generiraju cijeli [S] pa se umjesto beskonačnog
skupa radi s pogodno odabranim "malim" podskupom
koji je dovoljan (jer razapinje isto što i cijeli skup S).
Rješenja 3. domaće zadaće pristižu u dosta velikom
broju, a pritom se često postavlja pitanje o načinu
rješavanja 7. zadatka. To se moglo i očekivati, zbog
nedostatka iskustva u rješavanju takvih zadataka pa
slijede upute (ne i cjelovita rješenja, korisnije je da
se primjenom uputa do njih dođe s nešto samostalnog
rada).
U sva tri podzadatka pitanje glasi - je li zadani skup S
sustav izvodnica navedenog prostora, s tim da je
pod (b) i (c) zadan isti skup uređenih trojki kompleksnih
brojeva, samo što se jedanput promatra u prostoru
C^3 nad poljem C, a drugi put u C^3 nad poljem R.
Skup S u svakom od primjera je beskonačan skup.
(a) Prostor je R^3, a S je skup svih vektora (x,y,z) za koje xyz = 0.
Pitanje je može li se svaki vektor prikazati kao linearna
kombinacija nekih vektora za koje vrijedi zadani uvjet.
Ovo se može (ali ne mora) povezati s primjerom koji sam
napisao za linearnu ljusku, gdje je prostor R^2, a
uvjet glasi xy = 1.
U skupu S "imamo na raspolaganju" sve moguće (x,y,z)
za koje barem jedna koordinata (komponenta) ima vrijednost 0.
Jedan način: malo "pogađanja" koji bi (čim jednostavniji)
vektori iz S bili prikladni da generiraju cijeli R^3.
Drukčije, dovoljno bi bilo izabrati neki otprije poznati sustav
izvodnica tog prostora, pa umjesto "svih odjednom" vektora
pokušati samo te vektore prikazati kao linearne
kombinacije vektora iz S.
Naime, ako je npr. [ M] = R^3, pri čemu je M neki
(neveliki) podskup i ako se svaki vektor iz M nalazi u [S],
onda je [M] sadržan u [S] pa je cijeli R^3 sadržan u [S],
dakle R^3 = [S].
Sad nije potrebno puno "mašte" za izbor pogodnog skupa
M, ako se pročitalo barem osnovne primjere sustava
izvodnica, odnosno posebno baze.
(b) i (c).
Stvar je slična, ali ipak malo složenija, jer je riječ o
kompleksnim brojevima i uvjetu izraženom pomoću
kompleksnog konjugiranja.
Ovdje ću konjugirani broj od z označavati sa z*.
Dakle, S je skup vektora oblika (z1, z2, z2*) u C^3.
Pristup je sasvim sličan kao u (a).
U nekim primljenim rješenjima izabralo se, sasvim
logično, nekoliko najjednostavnijih vektora iz S,
najčešće (1,0,0), (0,1,1) te (0,i,-i).
To je dobar izbor pa preostaje samo izravnim računom
(za (b)) ispitati može li se svaki (z1, z2, z3)
prikazati kao linearna kombinacija navedenih.
Ovdje opet za (b)) nije ni potrebno ni povoljno
rastavljati na realni i imaginarni dio nego
koeficijente tražiti kao kompleksne brojeve.
Očito je (z1, z2, z3) = z1 (1,0,0) + (0,z2, z3),
tako da jedan koeficijent odmah vidimo.
Preostaje riješiti jednadžbu
(0,z2, z3) = x (0,1,1) + y(0,i,-i) gdje su x, y iz C.
Naravno, dobiva se sustav od 2 jednadžbe
s 2 nepoznanice x, y.
Imamo li ikakvu sigurnost da će postojati rješenje?
Da, ako smo naučili malo više "teorije" (što se
ovdje ne pretpostavlja kao nužno, ali sad već učimo
te pojmove pa ih nećemo zanemariti).
Koliko minimalno trebamo vektora za sustav izvodnica
od C^3? Imamo li ih ovdje toliko?
Kakav je skup { (1,0,0), (0,1,1), (0,i,-i)} što se tiče
linearne (ne)zavisnosti?
U prethodnom, izabrali smo tri vektora koji nam se
čine podesnima. Opet, kao u (a), mogli smo također
birati prvo skup M kao neki poznati sustav izvodnica
(najbolje - bazu) pa onda svaki od njegovih vektora
pokušati prikazati kao lin. kombinaciju trojki oblika
(z1, z2, z2*). Nije teško.
U svakom slučaju, ovo je dovoljno uputa za (b).
U (c) imamo dodatno ograničenje da koeficijenti
u prikazu općeg vektora (z1, z2, z3) kao linearne
kombinacije nekih vektora posebnog oblika (iz S)
moraju biti samo realni brojevi.
Ovdje će trebati rastavljati neke kompleksne brojeve
na realni i imaginarni dio.
U nekim rješenjima, gdje se otprije zna više ili je
više pročitano dalje iz skripata, dosta brzo (i ispravno)
zaključeno je da S nije sustav izvodnica, jer je
[S] potprostor dimenzije 4 u prostoru dimenzije 6
pa se linearnim kombinacijama s realnim koeficijentima
ne mogu dobiti svi vektori iz C^3.
Ovaj stupanj znanja nije se podrazumijevao za 3. zadaću,
naravno, ali kako je i to gradivo neposredno pred nama,
nije loše odmah naznačiti u čemu je stvar.
No, idemo redom, jednostavnim rješavanjem.
Opći vektor iz S sad izgleda ovako:
(z1, z2, z2*) = (x1 + y1 i, x2 + y2 i, x2 - y2 i)
pri čemu su, jasno, svi x,y realni brojevi.
Dalje je to realna lin. kombinacija:
x1 (1,0,0) + x2 (0,1,1) + y1 (i, 0, 0) + y2 (0,i,-i).
Sad je [S] = [(1,0,0), (0,1,1), (i,0,0), (0,i,-i)].
Pitanje je - može li se svaki (a + bi, c + di, e + fi)
(a,b,c,d,e, f realni) prikazati kao realna lin.
kombinacija vektora (1,0,0), (0,1,1), (i,0,0), (0,i,-i) ?
Neki će (a neki već jesu) dosta brzo uočiti neki
konkretni vektor iz C^3 koji se ne može prikazati
na navedeni način, a može se i rješavati sustav sa
4 nepoznanice (malo nezgrapno, ali moguće).
Također, umjesto rješavanja sustava, može se, opet,
za neki poznati sustav izvodnica (čim manji, po mogućnosti)
pokušati svaki njegov vektor prikazati pomoću
navedena 4 vektora, pa ako se to ne uspije izvesti za sve -
odgovor je negativan.
Rezime: u svakom od podzadataka treba jasno
prepoznati vektore koji čine zadani skup S pa onda
ispitati može li se svaki vektor prostora prikazati
kao linearna kombinacija "posebnih" vektora, iz skupa S.
Prikladno je olakšati taj posao reduciranjem na
traženje prikaza samo nekih istaknutih vektora
(iz već poznatog sustava izvodnica, najbolje - baze).
Ovdje su zadaci takvi da se prilično lako može
naći povoljan izbor nekoliko vektora iz S koji
generiraju cijeli [S] pa se umjesto beskonačnog
skupa radi s pogodno odabranim "malim" podskupom
koji je dovoljan (jer razapinje isto što i cijeli skup S).
|