|
[quote="Anonymous"]kako treba rijesiti zadatak sa taylorom?
npr.
funkciju razvijte u taylorov red oko -1:
f(x)=(1-x)^(-2)[/quote]
Ajmo glavne ideje...
Prvo, razviti u Taylorov red je isto sto i razviti u red potencija (ukoliko se moze) oko neke zadane tocke c (ovdje c=-1), tj. trazimo razvoj oblika
f(x)=Suma [a_n * (x-c)^n]
koja treba konvergirati na nekoj okolini oko c (bas prema f(x)).
U Vasem slucaju dakle trazimo razvoj f(x)=Suma [ a_n*(x+1)^n].
Drugo, osnovni razvoji (eksp, sin, cos, binomni) koje koristimo za opce razvoje su svi dani kao razvoji oko nule, npr. f(x)=(1-x)^(-2)=Suma [ (-2 povrh n) x^n ] za |x|<1 - to nije ono sto trebamo jer hocemo potencije od (x+1), a ne od x. Ako bismo stavili x+1 na mjesto x dobijemo f(x+1)=(1-x-1)^(-2)=Suma [ (-2 povrh n) (x+1)^n ] tj. razvoj (-x)^(-2) oko -1 (i to konvergira za |x+1|<1 tj. za x iz <-2,0>).
E sad, kako "natjerati" da se moze uvrstiti x+1 na mjesto od x u neki od poznatih redova potencija? Tako da izvorni oblik fukncije preoblikujemo tako da funkcija bude izrazena preko x+1 i konstanti (tj. x se pojavljuje samo u obliku x+1).
Vasa funkcija je f(x)=(1-x)^(-2)=(1-2x+x^2)^(-2). Nazivnik ne mozemo napisati kao konstanta puta (x+1)^2 plus konstanta tj. u ovom obliku nije izvedivo direktno natjerivanje prikaza u oblik preko x+1. Preostaje deriviranje ili integriranje. Kako je integral od f(x) funkcija g(x)=-(1-x)^(-1), treba nju razviti oko -1. Izraz u nazivniku, 1-x, možemo napisati i kao 1-(x+1)+1=2-(x+1) tj. imamo g(x)=-(2-(x+1))^(-1)=-0.5*(1-(x+1)/2)^(-1). Znmo da je (1-x)^(-1)=Suma (x^n) pa je g(x)=-0.5*Suma (x+1)^n/2^n=Suma (1/2^(n+1))*(x+1)^n, cime smo g razvili oko -1. Razvoj od f dobijemo deriviranjem razvoja od g clan po clan: f(x)=Suma ((n+1)/2^n)(x+1)^n.
Kako kod aps. konvergentnih redova integriranje i deriviranje clan po clan ne mijenja radijus ni podrucje konvergencije, dobiveni razvoj vrijedi kao i onaj za g: oko -1 s radijusom 1 tj. na <-2,0>.
Samo jedna mala napomena za kraj: ako prvo derivirate f jer je lakse razviti f', pa vracete integriranjem, pazite da koristite _odredjeni_ integral od c do x od f'(t). Zašto? Jer je neodređeni integral skup _svih_ primitivnih funkcija od f', a Vama treba samo jedna točno određena: f. Kad prvo integrirate, a onda derivirate, formalno bi trebalo raditi isto, no zbog tog što je derivaicja konstante nula ispada da u tom slučaju nije tako važno paziti na taj detalj i zato sam gore, radi preglednosti, govorila smao o integralu.
Pozdrav
FMB :patkica:
| Anonymous (napisa): | kako treba rijesiti zadatak sa taylorom?
npr.
funkciju razvijte u taylorov red oko -1:
f(x)=(1-x)^(-2) |
Ajmo glavne ideje...
Prvo, razviti u Taylorov red je isto sto i razviti u red potencija (ukoliko se moze) oko neke zadane tocke c (ovdje c=-1), tj. trazimo razvoj oblika
f(x)=Suma [a_n * (x-c)^n]
koja treba konvergirati na nekoj okolini oko c (bas prema f(x)).
U Vasem slucaju dakle trazimo razvoj f(x)=Suma [ a_n*(x+1)^n].
Drugo, osnovni razvoji (eksp, sin, cos, binomni) koje koristimo za opce razvoje su svi dani kao razvoji oko nule, npr. f(x)=(1-x)^(-2)=Suma [ (-2 povrh n) x^n ] za |x|<1 - to nije ono sto trebamo jer hocemo potencije od (x+1), a ne od x. Ako bismo stavili x+1 na mjesto x dobijemo f(x+1)=(1-x-1)^(-2)=Suma [ (-2 povrh n) (x+1)^n ] tj. razvoj (-x)^(-2) oko -1 (i to konvergira za |x+1|<1 tj. za x iz ←2,0>).
E sad, kako "natjerati" da se moze uvrstiti x+1 na mjesto od x u neki od poznatih redova potencija? Tako da izvorni oblik fukncije preoblikujemo tako da funkcija bude izrazena preko x+1 i konstanti (tj. x se pojavljuje samo u obliku x+1).
Vasa funkcija je f(x)=(1-x)^(-2)=(1-2x+x^2)^(-2). Nazivnik ne mozemo napisati kao konstanta puta (x+1)^2 plus konstanta tj. u ovom obliku nije izvedivo direktno natjerivanje prikaza u oblik preko x+1. Preostaje deriviranje ili integriranje. Kako je integral od f(x) funkcija g(x)=-(1-x)^(-1), treba nju razviti oko -1. Izraz u nazivniku, 1-x, možemo napisati i kao 1-(x+1)+1=2-(x+1) tj. imamo g(x)=-(2-(x+1))^(-1)=-0.5*(1-(x+1)/2)^(-1). Znmo da je (1-x)^(-1)=Suma (x^n) pa je g(x)=-0.5*Suma (x+1)^n/2^n=Suma (1/2^(n+1))*(x+1)^n, cime smo g razvili oko -1. Razvoj od f dobijemo deriviranjem razvoja od g clan po clan: f(x)=Suma ((n+1)/2^n)(x+1)^n.
Kako kod aps. konvergentnih redova integriranje i deriviranje clan po clan ne mijenja radijus ni podrucje konvergencije, dobiveni razvoj vrijedi kao i onaj za g: oko -1 s radijusom 1 tj. na ←2,0>.
Samo jedna mala napomena za kraj: ako prvo derivirate f jer je lakse razviti f', pa vracete integriranjem, pazite da koristite _odredjeni_ integral od c do x od f'(t). Zašto? Jer je neodređeni integral skup _svih_ primitivnih funkcija od f', a Vama treba samo jedna točno određena: f. Kad prvo integrirate, a onda derivirate, formalno bi trebalo raditi isto, no zbog tog što je derivaicja konstante nula ispada da u tom slučaju nije tako važno paziti na taj detalj i zato sam gore, radi preglednosti, govorila smao o integralu.
Pozdrav
FMB 
_________________
"Have patience. Go where you must, and hope."
(Gandalf in J.R.R.Tolkien's "The Lord of the Rings")
|
