|
Nakon poglavlja o matricama (i 2. testa) došlo je vrijeme
za temu koje je od početka nastave LA 1 najavljivana
kao jedan od glavnih ciljeva predmeta:
[i]rješavanje sustava linearnih jednadžbi[/i].
Ovo poglavlje u skriptama je sažeto na svega 9 stranica,
a u višekratnim motivacijama za učenje vektorskih prostora
i operacija s matricama (sadržaj prva dva poglavlja)
naglašavano je kako će praktički sva naučena teorija doći
do izražaja upravo u rješavanju (a naročito u razumijevanju
rješavanja) sustava linearnih jednadžbi.
Ujedno, da će nam stečeno znanje omogućiti "elegantan"
prolazak kroz sve bitne aspekte ove teme, i teorijske
i praktične.
Ako vam (nam) se učini da cijela stvar ne predstavlja neku
osobitu mudrost, da vam (nam) je sve to nekako poznato
već otprije i da bismo se i bez "silne teorije" mogli snaći
u rješavanju nekog sustava od 4 jednadžbe s 5 nepoznanica,
to i nije daleko od istine. Ako se shvati na pravi način.
Od početka nije se tajilo da dobro razumijevanje rješavanja
"običnih" sustava linearnih jednadžbi sa samo 2 ili 3 nepoznanice
može i treba bitno pridonijeti svladavanju općih sustava:
m jednadžbi s n nepoznanica, čak i u kontekstu ne samo realnih
brojeva, nego bilo kojeg polja.
S povećanjem broja nepoznanica povećat će se, općenito, i
dimenzija u kojoj se radi, ali načelno to nije problem kad se
usvoje osnovni elementi pristupa.
Problem rješavanja sustava prirodno se smještava u odgovarajući
vektorski prostor, jer uređene n-torke brojeva koje mogu biti
rješenja sustava vektori su u takvom prostoru i s njima se
jednostavno računa kao s vektorima.
Sustav ili nema rješenja ili ima točno jedno rješenje ili ima
cijeli netrivijalni potprostor odnosno linearnu mnogostrukost
(translatirani potprostor) rješenja. Ovo posljednje nad beskonačnim
poljem znači i beskonačno mnogo rješenja.
To vrijedi i za sustav linearnih jednadžbi s 1 nepoznanicom
i s 2 nepoznanice i s 3 nepoznanice i s bilo kojim (za nas konačnim)
brojem nepoznanica. Kad se razumije geometrijsko tumačenje
s nekoliko pravaca u euklidskoj ravnini ili s nekoliko ravnina
u euklidskom prostoru (dimenzije 3), poopćenje je također
lako shvatljivo.
Neke od glavnih poanti su u tome kako se jednostavno uvjet
rješivosti sustava i uvjet jednoznačnosti rješenja formuliraju
pomoću ranga matrice (zapravo, pomoću dimenzija odgovarajućih
potpostora).
Struktura skupa rješenja - opet vektori, potprostori i baze.
Tehnika rješavanja sustava - jasni algoritam koji se pregledno
izvodi pomoću matrica (iako takav zapis nije presudan za samo
rješavanje).
Jako je korisno i poučno usporediti vlastite pojmove i saznanja
o sustavima linearnih jednadžbi prije i poslije čitanja/proučavanja
3. poglavlja,
Također, izrazito važno: kroz učenje tog gradiva opaziti kako su
dokazi redom kratki, ali upitati se i provjeriti je li naučeno
prethodno gradivo čijom se primjenom teoremi i propozicije
mogu tako sažeto i iskazati i dokazati.
Uz 3. poglavlje važno je raditi primjere po vježbama br. 11
i riješiti 9. domaću zadaću, a u kolokvijima iz prethodnih
godina može se naći puno zadataka.
Nakon poglavlja o matricama (i 2. testa) došlo je vrijeme
za temu koje je od početka nastave LA 1 najavljivana
kao jedan od glavnih ciljeva predmeta:
rješavanje sustava linearnih jednadžbi.
Ovo poglavlje u skriptama je sažeto na svega 9 stranica,
a u višekratnim motivacijama za učenje vektorskih prostora
i operacija s matricama (sadržaj prva dva poglavlja)
naglašavano je kako će praktički sva naučena teorija doći
do izražaja upravo u rješavanju (a naročito u razumijevanju
rješavanja) sustava linearnih jednadžbi.
Ujedno, da će nam stečeno znanje omogućiti "elegantan"
prolazak kroz sve bitne aspekte ove teme, i teorijske
i praktične.
Ako vam (nam) se učini da cijela stvar ne predstavlja neku
osobitu mudrost, da vam (nam) je sve to nekako poznato
već otprije i da bismo se i bez "silne teorije" mogli snaći
u rješavanju nekog sustava od 4 jednadžbe s 5 nepoznanica,
to i nije daleko od istine. Ako se shvati na pravi način.
Od početka nije se tajilo da dobro razumijevanje rješavanja
"običnih" sustava linearnih jednadžbi sa samo 2 ili 3 nepoznanice
može i treba bitno pridonijeti svladavanju općih sustava:
m jednadžbi s n nepoznanica, čak i u kontekstu ne samo realnih
brojeva, nego bilo kojeg polja.
S povećanjem broja nepoznanica povećat će se, općenito, i
dimenzija u kojoj se radi, ali načelno to nije problem kad se
usvoje osnovni elementi pristupa.
Problem rješavanja sustava prirodno se smještava u odgovarajući
vektorski prostor, jer uređene n-torke brojeva koje mogu biti
rješenja sustava vektori su u takvom prostoru i s njima se
jednostavno računa kao s vektorima.
Sustav ili nema rješenja ili ima točno jedno rješenje ili ima
cijeli netrivijalni potprostor odnosno linearnu mnogostrukost
(translatirani potprostor) rješenja. Ovo posljednje nad beskonačnim
poljem znači i beskonačno mnogo rješenja.
To vrijedi i za sustav linearnih jednadžbi s 1 nepoznanicom
i s 2 nepoznanice i s 3 nepoznanice i s bilo kojim (za nas konačnim)
brojem nepoznanica. Kad se razumije geometrijsko tumačenje
s nekoliko pravaca u euklidskoj ravnini ili s nekoliko ravnina
u euklidskom prostoru (dimenzije 3), poopćenje je također
lako shvatljivo.
Neke od glavnih poanti su u tome kako se jednostavno uvjet
rješivosti sustava i uvjet jednoznačnosti rješenja formuliraju
pomoću ranga matrice (zapravo, pomoću dimenzija odgovarajućih
potpostora).
Struktura skupa rješenja - opet vektori, potprostori i baze.
Tehnika rješavanja sustava - jasni algoritam koji se pregledno
izvodi pomoću matrica (iako takav zapis nije presudan za samo
rješavanje).
Jako je korisno i poučno usporediti vlastite pojmove i saznanja
o sustavima linearnih jednadžbi prije i poslije čitanja/proučavanja
3. poglavlja,
Također, izrazito važno: kroz učenje tog gradiva opaziti kako su
dokazi redom kratki, ali upitati se i provjeriti je li naučeno
prethodno gradivo čijom se primjenom teoremi i propozicije
mogu tako sažeto i iskazati i dokazati.
Uz 3. poglavlje važno je raditi primjere po vježbama br. 11
i riješiti 9. domaću zadaću, a u kolokvijima iz prethodnih
godina može se naći puno zadataka.
|
