|
Na inicijativu jedne studentice sastavio sam "probni ispit"
samo u svrhu vježbe, bez ikakvog prejudiciranja (kao i za
prethodni "probni test" i "probni kolokvij") da bi pravi ispit
bio sasvim sličan ili ograničen samo na ove tipove zadataka.
Gledao sam na to da ukupni opseg i zastupljeni zadaci
predstavljaju jedan mogući pregled gradiva, u planiranom
obliku od 7 zadataka s podzadacima i teorijskim komponentama.
Nijedan zadatak nije "prepisan" iz drugih izvora (premda, naravno,
nije ni posebno originalan), samo što su u 7. zadatku dva od
standardnih teorijskih pitanja kakva se mogu vidjeti u kolokvijima
od prethodnih godina.
Mislim da će se neki od zadataka na prvi pogled učiniti
nestandardnima, no zapravo su to većinom šablonski zadaci
samo s malim varijantama u formulaciji, kako ne bi svi djelovali
krajnje suhoparno.
Dakle, ova vježba nije predložak za predstojeći ispit i nije
rezultat dogovora svih nastavnika na predmetu, kao što će
to biti pravi ispit.
[b]Ako netko želi file, radi bolje čitljivosti i eventualno printanja,
dostatan je samo upit na moju gmail adresu pa ću poslati.[/b]
Nisam upisivao bodove, kao što se radi na pravom ispitu,
no kako ovih 7 zadataka ukupno vrijedi 120 bodova, pojedini
zadatak nosio bi 15 - 18 bodova.
[b]ISPIT (za vježbu) IZ LINEARNE ALGEBRE 1[/b]
7. lipnja 2020.
[b]1. zadatak.[/b]
Označimo ℝ* = ℝ \ {0}. Neka je F = { f : ℝ* → ℝ | f(x) = ax + b/x, a, b ∊ ℝ }.
(a) Dokažite da je F realni vektorski prostor s obzirom na standardne operacije zbrajanja
funkcija i množenja funkcija skalarom po točkama ( (f+g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = α f(x) ).
(b) Je li F konačnodimenzionalan prostor? Ako jest, koja mu je dimenzija?
(c) Navedite neki pravi potprostor od F (tj. potprostor različit od {0} i od F).
(d) Može li se F prikazati kao direktna suma dva potprostora, oba različita od {0}?
Sve odgovore obrazložite.
[i]Napomena[/i]: Prikladnim pristupom, rješavanje (b)-(d) može se obuhvatiti praktički odjednom.
[b]2. zadatak.[/b]
(i) Neka je {a,b,c,d} podskup vektorskog prostora. Dokažite da je {a,b,c,d} linearno
nezavisan skup ako i samo ako je {a+b, b, c, c+d} linearno nezavisan skup. Može li se
dokaz provesti primjenom nekih poznatih operacija koje ne mijenjaju dimenziju potprostora
vektorskog prostora?
(ii) Pretpostavimo da u konačnodimenzionalnom realnom vektorskom prostoru V postoje
podskupovi A, B i C takvi da se A sastoji od 2 vektora, B od 3 vektora, C od 4 vektora te da
pritom vrijedi: nijedan od skupova A, B, C nije baza prostora V, ali se može ili proširiti do baze
ili reducirati do baze. Koje sve vrijednosti može poprimati dim V?
[b]
3. zadatak.[/b]
Neka je S skup svih realnih matrica reda 2 koje komutiraju (pri množenju) sa svakom
realnom antisimetričnom matricom reda 2.
(a) Ispitajte je li S potprostor vektorskog prostora M2 (ℝ). Ako jest, odredite dim S.
(b) Dokažite da je S polje s obzirom na operacije zbrajanja i množenja matrica.
[b]4. zadatak.[/b]
Kvadratna matrica P reda 4 zadana je tako da su u njezinim retcima upisani redom prim (prosti) brojevi.
Prvi redak glasi [ 2 3 5 7 ] itd.
(a) Odredite rang matrice P.
(b) Može li se rang promijeniti, tako se za element matrice u donjem desnom kutu
( na poziciji (4,4)) upiše neki drugi prim broj, umjesto šesnaestog po redu?
[i]Uputa[/i]: (b) odgovara ispitivanju ranga u ovisnosti o parametru.
[b]5. zadatak.[/b]
Riješite zadani sustav linearnih jednadžbi i rješenje, ako postoji, napišite
u vektorskom obliku tako da se jasno vidi struktura skupa rješenja.
Odredite, ako je moguće, neko rješenje sustava u kojem
sve nepoznanice poprimaju pozitivne cjelobrojne vrijednosti.
3 x1 + 4 x2 - 2 x4 - 4 x5 = 14
9 x1 + 4 x2 + 2 x3 - 14 x4 = 14
12 x1 + 10 x2 - 9 x3 - 14 x4 - 28 x5 = -28
3 x1 + 2 x2 - 3 x3 - 4 x4 - 8 x5 = -14 .
[b]6. zadatak.[/b]
Matrica A = [a_ij] ∊ M3 (ℝ) zadana je s
a_ij = i + λ j , ako je i+j paran broj, odnosno
a_ij = μ i + j , ako je i+j neparan broj, pri čemu su λ , μ ∊ ℝ parametri.
(a) Izračunajte det A .
(b) Pokažite da je za jedan od parametara moguće izabrati vrijednost 0, a da sustav
u matričnom zapisu AX = B bude Cramerov, neovisno o izboru vrijednosti drugog
parametra i za svaki izbor stupca B slobodnih koeficijenata.
(c) Neka su u Cramerovom sustavu AX = B iz (b) slobodni koeficijenti redom 0,1,0.
Odredite vrijednost nepoznanice x2 u rješenju sustava.
[b]7. zadatak.[/b]
(a) Napišite nužne i dovoljne uvjete da bi sustav od [i]m[/i] linearnih jednadžbi s [i]n[/i]
nepoznanica imao jedinstveno rješenje. Uvjete treba napisati pomoću pojma ranga
matrice. Dokažite iskazanu tvrdnju.
(b) Definirajte determinantu kvadratne matrice reda [i]n[/i] nad poljem F. Objasnite
ukratko pojmove koji su bitni za definiciju.
Na inicijativu jedne studentice sastavio sam "probni ispit"
samo u svrhu vježbe, bez ikakvog prejudiciranja (kao i za
prethodni "probni test" i "probni kolokvij") da bi pravi ispit
bio sasvim sličan ili ograničen samo na ove tipove zadataka.
Gledao sam na to da ukupni opseg i zastupljeni zadaci
predstavljaju jedan mogući pregled gradiva, u planiranom
obliku od 7 zadataka s podzadacima i teorijskim komponentama.
Nijedan zadatak nije "prepisan" iz drugih izvora (premda, naravno,
nije ni posebno originalan), samo što su u 7. zadatku dva od
standardnih teorijskih pitanja kakva se mogu vidjeti u kolokvijima
od prethodnih godina.
Mislim da će se neki od zadataka na prvi pogled učiniti
nestandardnima, no zapravo su to većinom šablonski zadaci
samo s malim varijantama u formulaciji, kako ne bi svi djelovali
krajnje suhoparno.
Dakle, ova vježba nije predložak za predstojeći ispit i nije
rezultat dogovora svih nastavnika na predmetu, kao što će
to biti pravi ispit.
Ako netko želi file, radi bolje čitljivosti i eventualno printanja,
dostatan je samo upit na moju gmail adresu pa ću poslati.
Nisam upisivao bodove, kao što se radi na pravom ispitu,
no kako ovih 7 zadataka ukupno vrijedi 120 bodova, pojedini
zadatak nosio bi 15 - 18 bodova.
ISPIT (za vježbu) IZ LINEARNE ALGEBRE 1
7. lipnja 2020.
1. zadatak.
Označimo ℝ* = ℝ \ {0}. Neka je F = { f : ℝ* → ℝ | f(x) = ax + b/x, a, b ∊ ℝ }.
(a) Dokažite da je F realni vektorski prostor s obzirom na standardne operacije zbrajanja
funkcija i množenja funkcija skalarom po točkama ( (f+g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = α f(x) ).
(b) Je li F konačnodimenzionalan prostor? Ako jest, koja mu je dimenzija?
(c) Navedite neki pravi potprostor od F (tj. potprostor različit od {0} i od F).
(d) Može li se F prikazati kao direktna suma dva potprostora, oba različita od {0}?
Sve odgovore obrazložite.
Napomena: Prikladnim pristupom, rješavanje (b)-(d) može se obuhvatiti praktički odjednom.
2. zadatak.
(i) Neka je {a,b,c,d} podskup vektorskog prostora. Dokažite da je {a,b,c,d} linearno
nezavisan skup ako i samo ako je {a+b, b, c, c+d} linearno nezavisan skup. Može li se
dokaz provesti primjenom nekih poznatih operacija koje ne mijenjaju dimenziju potprostora
vektorskog prostora?
(ii) Pretpostavimo da u konačnodimenzionalnom realnom vektorskom prostoru V postoje
podskupovi A, B i C takvi da se A sastoji od 2 vektora, B od 3 vektora, C od 4 vektora te da
pritom vrijedi: nijedan od skupova A, B, C nije baza prostora V, ali se može ili proširiti do baze
ili reducirati do baze. Koje sve vrijednosti može poprimati dim V?
3. zadatak.
Neka je S skup svih realnih matrica reda 2 koje komutiraju (pri množenju) sa svakom
realnom antisimetričnom matricom reda 2.
(a) Ispitajte je li S potprostor vektorskog prostora M2 (ℝ). Ako jest, odredite dim S.
(b) Dokažite da je S polje s obzirom na operacije zbrajanja i množenja matrica.
4. zadatak.
Kvadratna matrica P reda 4 zadana je tako da su u njezinim retcima upisani redom prim (prosti) brojevi.
Prvi redak glasi [ 2 3 5 7 ] itd.
(a) Odredite rang matrice P.
(b) Može li se rang promijeniti, tako se za element matrice u donjem desnom kutu
( na poziciji (4,4)) upiše neki drugi prim broj, umjesto šesnaestog po redu?
Uputa: (b) odgovara ispitivanju ranga u ovisnosti o parametru.
5. zadatak.
Riješite zadani sustav linearnih jednadžbi i rješenje, ako postoji, napišite
u vektorskom obliku tako da se jasno vidi struktura skupa rješenja.
Odredite, ako je moguće, neko rješenje sustava u kojem
sve nepoznanice poprimaju pozitivne cjelobrojne vrijednosti.
3 x1 + 4 x2 - 2 x4 - 4 x5 = 14
9 x1 + 4 x2 + 2 x3 - 14 x4 = 14
12 x1 + 10 x2 - 9 x3 - 14 x4 - 28 x5 = -28
3 x1 + 2 x2 - 3 x3 - 4 x4 - 8 x5 = -14 .
6. zadatak.
Matrica A = [a_ij] ∊ M3 (ℝ) zadana je s
a_ij = i + λ j , ako je i+j paran broj, odnosno
a_ij = μ i + j , ako je i+j neparan broj, pri čemu su λ , μ ∊ ℝ parametri.
(a) Izračunajte det A .
(b) Pokažite da je za jedan od parametara moguće izabrati vrijednost 0, a da sustav
u matričnom zapisu AX = B bude Cramerov, neovisno o izboru vrijednosti drugog
parametra i za svaki izbor stupca B slobodnih koeficijenata.
(c) Neka su u Cramerovom sustavu AX = B iz (b) slobodni koeficijenti redom 0,1,0.
Odredite vrijednost nepoznanice x2 u rješenju sustava.
7. zadatak.
(a) Napišite nužne i dovoljne uvjete da bi sustav od m linearnih jednadžbi s n
nepoznanica imao jedinstveno rješenje. Uvjete treba napisati pomoću pojma ranga
matrice. Dokažite iskazanu tvrdnju.
(b) Definirajte determinantu kvadratne matrice reda n nad poljem F. Objasnite
ukratko pojmove koji su bitni za definiciju.
|
