|
[b]Zadaci s 2. kolokvija, 8. veljače 2021.[/b]
1. Ako projektivitet na realnom projektivnom pravcu preslikava točke A, B, C redom u
B, C, D, pri čemu su zadane 4 točke različite, konstruirajte sliku točke D.
Postoji li točka D takva da je njezina slika u tom projektivitetu točka A?
2. Navedite primjer projektivne transformacije ravnine PG(2, [b]R[/b]) koja ima točno 1 fiksnu točku.
Odredite sliku pravca x0 = 0 u tom primjeru.
3. Polaritet projektivne ravnine PG(2, [b]R[/b]) zadan je autopolarnim trovrhom ABC te polarom p
točke P, pri čemu je A = (1:0:0), B = (0:1: -1), C = (0:2:1), P = (3:2:1),
p…3 x0 = x1 + x2 .
(a) Napišite jednadžbu konike zadane tim polaritetom.
(b) Odredite jednadžbu (u homogenim i/ili nehomogenim koordinatama) involutornog
projektiviteta na pravcu x0 = 0 zadanog međusobnim pridruživanjem točaka
konjugiranih u tom polaritetu. Navedite primjer, ako postoji, pravca na kojem nema
takvog involutornog projektiviteta.
(Napomena: u 3. zadatku podaci su slučajno zadani tako da
rješenje nije jednoznačno, jer je točka P incidentna s pravcem AC).
4. Neka su C1 i C2 dvije nesingularne konike, a t pravac koji nije tangenta nijedne od tih konika.
Svakoj točki T pravca t pridružene su polare p1 i p2 s obzirom na zadane konike.
Opišite skup svih sjecišta pravaca p1 i p2 kad T prolazi pravcem t.
5. U euklidskoj ravnini šiljastokutni trokut opisan je jednoj konici,
tako da su dirališta dviju stranica u nožištima visina na te
stranice. Dokažite da je diralište treće stranice u nožištu treće visine.
Isti trokut upisan je drugoj konici, tako da su tangente konike u dva vrha trokuta paralelne
sa suprotnim stranicama. Odredite tangentu u trećem vrhu.
Zadaci s 2. kolokvija, 8. veljače 2021.
1. Ako projektivitet na realnom projektivnom pravcu preslikava točke A, B, C redom u
B, C, D, pri čemu su zadane 4 točke različite, konstruirajte sliku točke D.
Postoji li točka D takva da je njezina slika u tom projektivitetu točka A?
2. Navedite primjer projektivne transformacije ravnine PG(2, R) koja ima točno 1 fiksnu točku.
Odredite sliku pravca x0 = 0 u tom primjeru.
3. Polaritet projektivne ravnine PG(2, R) zadan je autopolarnim trovrhom ABC te polarom p
točke P, pri čemu je A = (1:0:0), B = (0:1: -1), C = (0:2:1), P = (3:2:1),
p…3 x0 = x1 + x2 .
(a) Napišite jednadžbu konike zadane tim polaritetom.
(b) Odredite jednadžbu (u homogenim i/ili nehomogenim koordinatama) involutornog
projektiviteta na pravcu x0 = 0 zadanog međusobnim pridruživanjem točaka
konjugiranih u tom polaritetu. Navedite primjer, ako postoji, pravca na kojem nema
takvog involutornog projektiviteta.
(Napomena: u 3. zadatku podaci su slučajno zadani tako da
rješenje nije jednoznačno, jer je točka P incidentna s pravcem AC).
4. Neka su C1 i C2 dvije nesingularne konike, a t pravac koji nije tangenta nijedne od tih konika.
Svakoj točki T pravca t pridružene su polare p1 i p2 s obzirom na zadane konike.
Opišite skup svih sjecišta pravaca p1 i p2 kad T prolazi pravcem t.
5. U euklidskoj ravnini šiljastokutni trokut opisan je jednoj konici,
tako da su dirališta dviju stranica u nožištima visina na te
stranice. Dokažite da je diralište treće stranice u nožištu treće visine.
Isti trokut upisan je drugoj konici, tako da su tangente konike u dva vrha trokuta paralelne
sa suprotnim stranicama. Odredite tangentu u trećem vrhu.
|
