[b]2. kolokvij (2021./2022.)
[/b]
1. (a) Postoji li na realnom projektivnom pravcu projektivitet koji neke
četiri različite točke A, B, C, D preslikava redom u B, C, D, A?
Ako postoji, kakav je to projektivitet s obzirom na fiksne točke?
Može li se prikazati kao kompozicija dva involutorna projektiviteta?
(b) Postoji li eliptički involutorni projektivitet A, B, C -^- D, C, B?
(Ovo pitanje nije povezano s prethodnim, osim što su A, B, C, D
različite točke na pravcu).
2. Neka je ABC trovrh u realnoj projektivnoj ravnini i S točka
različita od vrhova A, B, C te neka je p pravac koji nije incidentan
ni s jednim od vrhova A, B, C.
Spojnice vrhova A, B, C s točkom S sijeku suprotne stranice
trovrha redom u točkama D, E, F.
Pravac p siječe stranice AB, BC, CA redom u točkama M, N i P.
Dokažite da vrijednost umnoška dvoomjera
R(AB,FM) R(BC,DN) R(CA,EP) ne ovisi o
izboru točaka A, B, C, S i pravca p (uz navedene pretpostavke).
3. U proširenoj euklidskoj ravnini zadan je četverovrh PQST i
pravac t incidentan s točkom T, takav da nijedna od točaka
P, Q, S nije incidentna s t. Neka je C konika koja prolazi točkama
P, Q i S, a u točki T dodiruje (tangira) pravac t.
(a) Konstruirajte tangentu konike C u nekoj od točaka P, Q i S.
(b) Konstruirajte pol pravca PQ u polaritetu zadanom konikom C.
4. U projektivnoj ravnini PG(2, [b]R[/b]) promatramo skup svih konika
koje prolaze zadanom točkom A i diraju (tangiraju) zadani pravac
p u njegovoj točki P, također zadanoj. (A nije incidentna s p).
Odredite opću jednadžbu konika tog skupa u homogenim
koordinatama, uz osnovne točke odabrane po volji.
Ako za pravac p izaberemo beskonačno daleki pravac (proširene
euklidske ravnine) i točku (0:0:1) za točku P te A = (1:0:0),
kako bismo mogli opisati promatrani skup konika uzimajući
u obzir samo euklidsku ravninu?
2. kolokvij (2021./2022.)
1. (a) Postoji li na realnom projektivnom pravcu projektivitet koji neke
četiri različite točke A, B, C, D preslikava redom u B, C, D, A?
Ako postoji, kakav je to projektivitet s obzirom na fiksne točke?
Može li se prikazati kao kompozicija dva involutorna projektiviteta?
(b) Postoji li eliptički involutorni projektivitet A, B, C -^- D, C, B?
(Ovo pitanje nije povezano s prethodnim, osim što su A, B, C, D
različite točke na pravcu).
2. Neka je ABC trovrh u realnoj projektivnoj ravnini i S točka
različita od vrhova A, B, C te neka je p pravac koji nije incidentan
ni s jednim od vrhova A, B, C.
Spojnice vrhova A, B, C s točkom S sijeku suprotne stranice
trovrha redom u točkama D, E, F.
Pravac p siječe stranice AB, BC, CA redom u točkama M, N i P.
Dokažite da vrijednost umnoška dvoomjera
R(AB,FM) R(BC,DN) R(CA,EP) ne ovisi o
izboru točaka A, B, C, S i pravca p (uz navedene pretpostavke).
3. U proširenoj euklidskoj ravnini zadan je četverovrh PQST i
pravac t incidentan s točkom T, takav da nijedna od točaka
P, Q, S nije incidentna s t. Neka je C konika koja prolazi točkama
P, Q i S, a u točki T dodiruje (tangira) pravac t.
(a) Konstruirajte tangentu konike C u nekoj od točaka P, Q i S.
(b) Konstruirajte pol pravca PQ u polaritetu zadanom konikom C.
4. U projektivnoj ravnini PG(2, R) promatramo skup svih konika
koje prolaze zadanom točkom A i diraju (tangiraju) zadani pravac
p u njegovoj točki P, također zadanoj. (A nije incidentna s p).
Odredite opću jednadžbu konika tog skupa u homogenim
koordinatama, uz osnovne točke odabrane po volji.
Ako za pravac p izaberemo beskonačno daleki pravac (proširene
euklidske ravnine) i točku (0:0:1) za točku P te A = (1:0:0),
kako bismo mogli opisati promatrani skup konika uzimajući
u obzir samo euklidsku ravninu?
|