|
[b]1. zadatak.[/b]
Riječ je o projektivitetu pravca BC na sebe, zadanom kao kompozicija 6 perspektiviteta.
Taj projektivitet fiksira točke B, C i D (izravna provjera) pa je to identiteta, tako da je i slika
varijabilne točke P1 jednaka njoj samoj.
Malo drukčije, kompozicija prva tri perspektiviteta je involutorni projektivitet pa se njegovom
ponovnom primjenom dobiva identiteta.
Ovo je jedan od pristupa, može se reći - prirodni pristup.
Naravno, moguća je i primjena analitičke metode, s tim da treba
pripaziti da se kod izbora početnih koordinata ne gubi na općenitosti.
Vrijedno je istaknuti jedno od studentskih rješenja, s manje očitim
načinom zaključivanja i korištenjem jednog zadatka/teorema koji
je pokazan u okviru nastave.
Završni zaključak da se podudaraju P1 i P7 svodi se pitanje jesu li
E, P1 i P6 kolinearne. U tu svrhu pokazuje se da su trovrsi
P2 P4 P6 i F D E perspektivni iz centra P1. Ovo pak slijedi iz teorema:
[i]Ako su dva trovrha perspektivna na dva načina (po redoslijedu vrhova drugog trovrha),
onda su perspektivni i na treći način.
[/i]
Konkretno, ovdje iz pretpostavki imamo: P2 P4 P6 persp. D E F
(iz centra P3) i P2 P4 P6 persp. E F D (iz centra P5),
dakle također su perspektivni P2 P4 P6 i F D E.
Centar mora biti P1, kao sjecište P2 F x P4 D pa stoga i P6 E
prolazi kroz P1.
[b]2. zadatak[/b]
Prvi umnožak dvoomjera iznosi 1, a drugi -1.
To, dakako, ne ovisi ni o pojedinoj involuciji kao ni o načinu kako se ona prikaže.
Smatram da je najpovoljnije izabrati prikaz x' = k/x, pri čemu je k različit od 0,
što se dobiva izborom
da se točka (0) preslika u "neizmjerno daleku točku" (infinity) pa onda
naravno i obrnuto.
To se može postići prikladnim projektivitetom, a dvoomjer je pritom invarijantan, naravno.
Za A(a), A'(k/a) itd prvi dvoomjer iznosi
(k - ab) (k - ac)^(-1) (t - c) (t - b)^(-1), ostali analogno tj. pa se sve
"pokrati" i dobiva se 1.
Malo drukčiji logičan pristup za prikaz involucije je takav da se redom uzmu točke i njihove slike:
(0) i (-b/a), (infinity) i (a/c), (1) i ( (a+b)/(c-a)).
[b]Napomena o pravom smislu drugog podzadatka:
Pomoću njega može se dokazati Cevin teorem[/b], naime poopćenje
u kojem ulogu "beskonačno dalekog pravca"
ima bilo koji pravac (w) koji ne prolazi kroz neki od vrhova trovrha QRS ni kroz točku P
(ukratko, kroz vrhove potpunog četverovrha PQRS;
ovdje stavljam takve oznake kako bi A,A', B, B', C, C' imale uloge
kao u 2. zadatku).
Ta tri para točaka pridruženi su u involuciji koju parovi suprotnih stranica četverovrha zadaju na pravcu w.
Neka RS, PQ, QS, PR, QR, PS redom sijeku pravac w u točkama
A, A', B, B', C, C'.
Prema poznatom teoremu, A i A', B i B', C i C' pridružene su točke u involuciji.
Treba izračunati umnožak dvoomjera (RS, DA) (SQ,EB)(QR,FC).
Projiciranjem iz centra P sve se "prebacuje" na w, gdje dobivamo umnožak dvoomjera
jednakih prethodnima: (AA', C'B') (BB', A'C') (CC', B'A') .
Ako znamo da je ta vrijednost -1 (podzadatak u 2.), time je dokazana ta projektivna varijanta
ili poopćenje Cevinog teorema.
([b]Objašnjenje radi lakšeg praćenja[/b] - po ovim oznakama, klasični
Cevin teorem, izražen pomoću djelišnih omjera, glasio bi:
Neka je QRS trokut, a P točka u ravnini tog trokuta, različita od vrhova.
Nadalje, neka pravci-spojnice vrhova QRS s točkom P sijeku suprotne
stranice redom u točkama D, E, F. Tada za umnožak djelišnih omjera
vrijedi (RS,D) (SQ,E) (QR,F) = -1.
Vrijedi i obrat, da se pravci QD, RE i SF sijeku u jednoj točki ako
je ispunjen uvjet za umnožak djelišnih omjera.
Djelišni omjer tri kolinearne točke je dvoomjer u kojem je četvrta
točka "beskonačno daleka točka" tog pravca. U projektivnoj geometriji
ulogu "beskonačno dalekog pravca" može imati bilo koji pravac
i u tome se sastoji poopćenje.
Bitan je teorem da 6 stranica potpunog četverovrha sijeku pravac
različit od tih stranica u tri para pridruženih točaka involutornog
projektiviteta. )
[b]3. zadatak[/b]
Standardna primjena Pascalovog teorema, konstrukcija "još jedne točke konike" kad ih je zadano pet,
naime umjesto da se ta točka traži na bilo kojem pravcu koji prolazi jednom od zadanih točaka konike,
taj pravac treba prolaziti točkom C i sjecištem pravaca AD i BE.
[b]4. zadatak[/b]
Čisti računski zadatak, ima dosta posla, a važno je čim efikasnije
odrediti jednadžbu konike, vjerojatno najbolje pomoću pramena
određenog dvjema singularnim konikama.
[b]5. zadatak[/b]
Jedno od osnovnih svojstava konika, obično se dokaže analitički
prije prelaska na složenije teoreme, no priznato je primjerice i
studentsko rješenje primjenom Steinerovog teorema o
generiranju konike projektivitetom između pramenova.
Za vrhove pramenova izabrana su dirališta tangenti iz točke P na
koniku, onda se jedna tangenta preslikava u polaru točke P,
a polara u drugu tangentu. Na pravcu S1 S2 time je induciran
involutorni projektivitet s fiksnim točkama S1 i S2, odakle se
vidi H(P, Q; S1, S2).
1. zadatak.
Riječ je o projektivitetu pravca BC na sebe, zadanom kao kompozicija 6 perspektiviteta.
Taj projektivitet fiksira točke B, C i D (izravna provjera) pa je to identiteta, tako da je i slika
varijabilne točke P1 jednaka njoj samoj.
Malo drukčije, kompozicija prva tri perspektiviteta je involutorni projektivitet pa se njegovom
ponovnom primjenom dobiva identiteta.
Ovo je jedan od pristupa, može se reći - prirodni pristup.
Naravno, moguća je i primjena analitičke metode, s tim da treba
pripaziti da se kod izbora početnih koordinata ne gubi na općenitosti.
Vrijedno je istaknuti jedno od studentskih rješenja, s manje očitim
načinom zaključivanja i korištenjem jednog zadatka/teorema koji
je pokazan u okviru nastave.
Završni zaključak da se podudaraju P1 i P7 svodi se pitanje jesu li
E, P1 i P6 kolinearne. U tu svrhu pokazuje se da su trovrsi
P2 P4 P6 i F D E perspektivni iz centra P1. Ovo pak slijedi iz teorema:
Ako su dva trovrha perspektivna na dva načina (po redoslijedu vrhova drugog trovrha),
onda su perspektivni i na treći način.
Konkretno, ovdje iz pretpostavki imamo: P2 P4 P6 persp. D E F
(iz centra P3) i P2 P4 P6 persp. E F D (iz centra P5),
dakle također su perspektivni P2 P4 P6 i F D E.
Centar mora biti P1, kao sjecište P2 F x P4 D pa stoga i P6 E
prolazi kroz P1.
2. zadatak
Prvi umnožak dvoomjera iznosi 1, a drugi -1.
To, dakako, ne ovisi ni o pojedinoj involuciji kao ni o načinu kako se ona prikaže.
Smatram da je najpovoljnije izabrati prikaz x' = k/x, pri čemu je k različit od 0,
što se dobiva izborom
da se točka (0) preslika u "neizmjerno daleku točku" (infinity) pa onda
naravno i obrnuto.
To se može postići prikladnim projektivitetom, a dvoomjer je pritom invarijantan, naravno.
Za A(a), A'(k/a) itd prvi dvoomjer iznosi
(k - ab) (k - ac)^(-1) (t - c) (t - b)^(-1), ostali analogno tj. pa se sve
"pokrati" i dobiva se 1.
Malo drukčiji logičan pristup za prikaz involucije je takav da se redom uzmu točke i njihove slike:
(0) i (-b/a), (infinity) i (a/c), (1) i ( (a+b)/(c-a)).
Napomena o pravom smislu drugog podzadatka:
Pomoću njega može se dokazati Cevin teorem, naime poopćenje
u kojem ulogu "beskonačno dalekog pravca"
ima bilo koji pravac (w) koji ne prolazi kroz neki od vrhova trovrha QRS ni kroz točku P
(ukratko, kroz vrhove potpunog četverovrha PQRS;
ovdje stavljam takve oznake kako bi A,A', B, B', C, C' imale uloge
kao u 2. zadatku).
Ta tri para točaka pridruženi su u involuciji koju parovi suprotnih stranica četverovrha zadaju na pravcu w.
Neka RS, PQ, QS, PR, QR, PS redom sijeku pravac w u točkama
A, A', B, B', C, C'.
Prema poznatom teoremu, A i A', B i B', C i C' pridružene su točke u involuciji.
Treba izračunati umnožak dvoomjera (RS, DA) (SQ,EB)(QR,FC).
Projiciranjem iz centra P sve se "prebacuje" na w, gdje dobivamo umnožak dvoomjera
jednakih prethodnima: (AA', C'B') (BB', A'C') (CC', B'A') .
Ako znamo da je ta vrijednost -1 (podzadatak u 2.), time je dokazana ta projektivna varijanta
ili poopćenje Cevinog teorema.
(Objašnjenje radi lakšeg praćenja - po ovim oznakama, klasični
Cevin teorem, izražen pomoću djelišnih omjera, glasio bi:
Neka je QRS trokut, a P točka u ravnini tog trokuta, različita od vrhova.
Nadalje, neka pravci-spojnice vrhova QRS s točkom P sijeku suprotne
stranice redom u točkama D, E, F. Tada za umnožak djelišnih omjera
vrijedi (RS,D) (SQ,E) (QR,F) = -1.
Vrijedi i obrat, da se pravci QD, RE i SF sijeku u jednoj točki ako
je ispunjen uvjet za umnožak djelišnih omjera.
Djelišni omjer tri kolinearne točke je dvoomjer u kojem je četvrta
točka "beskonačno daleka točka" tog pravca. U projektivnoj geometriji
ulogu "beskonačno dalekog pravca" može imati bilo koji pravac
i u tome se sastoji poopćenje.
Bitan je teorem da 6 stranica potpunog četverovrha sijeku pravac
različit od tih stranica u tri para pridruženih točaka involutornog
projektiviteta. )
3. zadatak
Standardna primjena Pascalovog teorema, konstrukcija "još jedne točke konike" kad ih je zadano pet,
naime umjesto da se ta točka traži na bilo kojem pravcu koji prolazi jednom od zadanih točaka konike,
taj pravac treba prolaziti točkom C i sjecištem pravaca AD i BE.
4. zadatak
Čisti računski zadatak, ima dosta posla, a važno je čim efikasnije
odrediti jednadžbu konike, vjerojatno najbolje pomoću pramena
određenog dvjema singularnim konikama.
5. zadatak
Jedno od osnovnih svojstava konika, obično se dokaže analitički
prije prelaska na složenije teoreme, no priznato je primjerice i
studentsko rješenje primjenom Steinerovog teorema o
generiranju konike projektivitetom između pramenova.
Za vrhove pramenova izabrana su dirališta tangenti iz točke P na
koniku, onda se jedna tangenta preslikava u polaru točke P,
a polara u drugu tangentu. Na pravcu S1 S2 time je induciran
involutorni projektivitet s fiksnim točkama S1 i S2, odakle se
vidi H(P, Q; S1, S2).
|
