|
[b]Zadaci s ispita (2. kolokvij)[/b]
1.
Na realnom projektivnom pravcu može se uvesti sljedeća relacija razdvajanja ρ (ro) između parova točaka (A, B) i (C, D),
pri čemu su A, B, C i D četiri različite točke:
AB ρ CD ako i samo ako je dvoomjer R(A,B;C,D) < 0. Pokažite da za bilo koje četiri točke vrijedi točno jedna od relacija AB ρ CD, AC ρ BD i AD ρ BC.
Kako bi se pomoću relacije ρ mogao uvesti pojam segmenta AB, za različite točke A i B, koji bi se na pravcu euklidske ravnine
podudarao s uobičajenim segmentom? Razlikuju li se tada segmenti za parove (A, B) i (B, A)?
2.
Neka je ABC trovrh u općenitoj projektivnoj ravnini, bez dodatnih pretpostavki. Neka su P i Q točke kolinearne s vrhom A,
od kojih nijedna nije incidentna s pravcem BC.
Zadan je projektivitet s pravca AB na pravac AC, kao kompozicija perspektiviteta s pravca AB na BC iz centra P
i perspektiviteta s BC na AC iz centra Q.
Označimo s X' sliku točke X u tom projektivitetu. Vrijedi li tvrdnja da za varijabilnu točku X svi pravci X X' prolaze jednom točkom?
Obrazložite.
Ako tvrdnja ne vrijedi u bilo kojoj projektivnoj ravnini, navedite uz koju bi dodatnu pretpostavku (aksiom) to bio teorem.
Ima li više načina za karakterizaciju takve projektivne ravnine?
3.
U involutornom projektivitetu na pravcu međusobno su pridružene točke A i A' te točke B i B'.
Dokažite: Za neke točke M i N tog pravca vrijedi da su također međusobno pridružene u tom projektivitetu
ako i samo ako postoji projektivitet u kojem su M i N fiksne točke, a točke A i B' preslikavaju se redom u točke B i A'.
4.
Neka je C nesingularna konika (krivulja 2. reda) u realnoj projektivnoj ravnini PG(2, [b]R[/b]), a [i]s[/i] pravac koji nije tangenta te konike.
(a) Neka je [i]s[/i] sekanta te konike (pravac koji ima točno dvije različite zajedničke točke s konikom).
Na skupu točaka pravca s zadano je preslikavanje φ: za točku X, točka φ(X) je sjecište pravca [i]s[/i]
i polare točke X s obzirom na koniku C. Dokažite da je φ projektivitet na pravcu [i]s[/i] i
odredite njegovu vrstu s obzirom na fiksne točke. Je li φ involutoran?
(b) Vrijedi li analogna tvrdnja i u slučaju kad pravac [i]s[/i] nema zajedničkih točaka s konikom?
Tvrdnju možete, ali ne morate istražiti općenito; dostatno je analizirati primjer konike
čiji je euklidski dio hiperbola -x^2 + y^2 = 1, a pravac [i]s[/i] ima jednadžbu y = 0.
5.
U euklidskoj ravnini zadan je kvadrat ABCD (smatra se da je nacrtan). Konstruirajte tangentu [i]t[/i] kružnice [i]K[/i] opisane tom kvadratu,
s diralištem u vrhu D. Nadalje, neka je točka P sjecište pravaca [i]t[/i] i BC.
Konstruirajte polaru točke P s obzirom na kružnicu [i]K[/i].
(Podrazumijevaju se konstrukcije samo pomoću ravnala;
u obrazloženju konstrukcija možete se poslužiti poznatim tvrdnjama/svojstvima iz euklidske planimetrije).
Zadaci s ispita (2. kolokvij)
1.
Na realnom projektivnom pravcu može se uvesti sljedeća relacija razdvajanja ρ (ro) između parova točaka (A, B) i (C, D),
pri čemu su A, B, C i D četiri različite točke:
AB ρ CD ako i samo ako je dvoomjer R(A,B;C,D) < 0. Pokažite da za bilo koje četiri točke vrijedi točno jedna od relacija AB ρ CD, AC ρ BD i AD ρ BC.
Kako bi se pomoću relacije ρ mogao uvesti pojam segmenta AB, za različite točke A i B, koji bi se na pravcu euklidske ravnine
podudarao s uobičajenim segmentom? Razlikuju li se tada segmenti za parove (A, B) i (B, A)?
2.
Neka je ABC trovrh u općenitoj projektivnoj ravnini, bez dodatnih pretpostavki. Neka su P i Q točke kolinearne s vrhom A,
od kojih nijedna nije incidentna s pravcem BC.
Zadan je projektivitet s pravca AB na pravac AC, kao kompozicija perspektiviteta s pravca AB na BC iz centra P
i perspektiviteta s BC na AC iz centra Q.
Označimo s X' sliku točke X u tom projektivitetu. Vrijedi li tvrdnja da za varijabilnu točku X svi pravci X X' prolaze jednom točkom?
Obrazložite.
Ako tvrdnja ne vrijedi u bilo kojoj projektivnoj ravnini, navedite uz koju bi dodatnu pretpostavku (aksiom) to bio teorem.
Ima li više načina za karakterizaciju takve projektivne ravnine?
3.
U involutornom projektivitetu na pravcu međusobno su pridružene točke A i A' te točke B i B'.
Dokažite: Za neke točke M i N tog pravca vrijedi da su također međusobno pridružene u tom projektivitetu
ako i samo ako postoji projektivitet u kojem su M i N fiksne točke, a točke A i B' preslikavaju se redom u točke B i A'.
4.
Neka je C nesingularna konika (krivulja 2. reda) u realnoj projektivnoj ravnini PG(2, R), a s pravac koji nije tangenta te konike.
(a) Neka je s sekanta te konike (pravac koji ima točno dvije različite zajedničke točke s konikom).
Na skupu točaka pravca s zadano je preslikavanje φ: za točku X, točka φ(X) je sjecište pravca s
i polare točke X s obzirom na koniku C. Dokažite da je φ projektivitet na pravcu s i
odredite njegovu vrstu s obzirom na fiksne točke. Je li φ involutoran?
(b) Vrijedi li analogna tvrdnja i u slučaju kad pravac s nema zajedničkih točaka s konikom?
Tvrdnju možete, ali ne morate istražiti općenito; dostatno je analizirati primjer konike
čiji je euklidski dio hiperbola -x^2 + y^2 = 1, a pravac s ima jednadžbu y = 0.
5.
U euklidskoj ravnini zadan je kvadrat ABCD (smatra se da je nacrtan). Konstruirajte tangentu t kružnice K opisane tom kvadratu,
s diralištem u vrhu D. Nadalje, neka je točka P sjecište pravaca t i BC.
Konstruirajte polaru točke P s obzirom na kružnicu K.
(Podrazumijevaju se konstrukcije samo pomoću ravnala;
u obrazloženju konstrukcija možete se poslužiti poznatim tvrdnjama/svojstvima iz euklidske planimetrije).
|
