|
Ovo je samo izbor nekoliko zadataka s kolokvija, odnosno ispita
u zimskom semestru, koji su (barem donekle) različiti od ispitnih
zadataka prethodnih godina.
1. Zadan je trovrh ABC u realnoj projektivnoj ravnini i točka T koja nije incidentna ni s jednom stranicom tog trovrha.
Sjecišta pravaca AT i BC, BT i CA, CT i AB označimo redom s A', B', C'.
Trovrsi ABC i A'B'C' očito su centralno perspektivni pa su stoga i osno perspektivni.
Os tog perspektiviteta naziva se polara točke T s obzirom na trovrh ABC. Odredite jednadžbu polare varijabilne točke T = (t0: t1 : t2).
Ispitajte može li neka točka biti incidentna sa svojom polarom s obzirom na trovrh ABC.
2. Neka su a i b pravci u realnoj projektivnoj ravnini, točke P1 i P3 incidentne s pravcem a, točke P2 i P4 incidentne s pravcem b,
sve različite od sjecišta pravaca a i b. Promatraju se Papposovi šesterovrsi P1...P5 P6. Za prve četiri točke izaberite
čvrste koordinate po volji, a za P5 i P6 pripadne koordinate u općem obliku (dakako, P5 je na pravcu P1 P3, a P6 na pravcu P2 P4).
Odredite opći oblik jednadžbe Papposovog pravca ovog skupa Papposovih četverovrha.
Ako je (z0 : z1 : z2) neka točka ravnine, može li ona biti incidentna sa
svim Papposovim pravcima promatranog skupa?
U slučaju potvrdnog odgovora, odredite skup takvih točaka.
3. Neka su trovrsi A1 B1 C1, A2 B2 C2 i A3 B3 C3 u parovima centralno perspektivni iz iste točke S kao centra.
Tada pripadne tri osi perspektiviteta imaju zajedničku točku. Dokažite da ova tvrdnja vrijedi u proširenoj euklidskoj ravnini.
4. Neka su A, B, C, D različite točke realnog projektivnog pravca PG(1, R). Promatramo permutacije tih točaka i pripadne dvoomjere,
dakle vrijednosti dvoomjera R(f(A), f(B); f(C), f(D)) za permutacije f uređenog skupa {A,B,C,D}.
Poznato nam je da se može dobiti najviše 6 različitih vrijednosti.
(i) Dokažite da je broj različitih vrijednosti dvoomjera manji od 6 ako i samo ako neka od permutacija čini harmoničku četvorku točaka.
(ii) Postoje li takve točke A, B, C, D i projektivitet g na pravcu da vrijedi g: A, B, C, D -^- A, C, B, D ?
U slučaju potvrdnog odgovora, konstruirajte takav skup točaka {A, B, C, D}.
(iii) Ako su A, B, C tri različite točke pravca PG(1, [b]R[/b]), prema poznatim rezultatima znamo da postoji jedinstveni projektivitet j koji fiksira točku A,
a točke B i C preslikava uzajamno. Nadalje, tada znamo da je taj projektivitet involutorni, a onda je i hiperbolički. Zašto?
(Navedite, bez dokaza, tvrdnje iz kojih to zaključujemo). Za zadane A, B, C konstruirajte drugu fiksnu točku projektiviteta j.
5. U proširenoj euklidskoj ravnini zadane su kolinearne točke M, N i P.
Neka je T točka takva da vrijedi H(M,N;P,T). Konstruirajte sliku točke T
u projektivitetu koji točke M, N, P preslikava redom u N, P, M.
(Napomena: postoji dulji i kraći način konstrukcije).
6. Neka je [i]C[/i] konika u euklidskoj ravnini zadana jednadžbom y^2 = xy + y + 2x.
Napišite jednadžbu konike [i]C[/i]' u proširenoj euklidskoj ravnini kojoj je [i]C[/i] euklidski dio.
Ako na [i]C[/i]' postoje točke koje ne pripadaju euklidskoj ravnini, odredite
ih i izračunajte jednadže tangenti na [i]C[/i]' u tim točkama.
Ovo je samo izbor nekoliko zadataka s kolokvija, odnosno ispita
u zimskom semestru, koji su (barem donekle) različiti od ispitnih
zadataka prethodnih godina.
1. Zadan je trovrh ABC u realnoj projektivnoj ravnini i točka T koja nije incidentna ni s jednom stranicom tog trovrha.
Sjecišta pravaca AT i BC, BT i CA, CT i AB označimo redom s A', B', C'.
Trovrsi ABC i A'B'C' očito su centralno perspektivni pa su stoga i osno perspektivni.
Os tog perspektiviteta naziva se polara točke T s obzirom na trovrh ABC. Odredite jednadžbu polare varijabilne točke T = (t0: t1 : t2).
Ispitajte može li neka točka biti incidentna sa svojom polarom s obzirom na trovrh ABC.
2. Neka su a i b pravci u realnoj projektivnoj ravnini, točke P1 i P3 incidentne s pravcem a, točke P2 i P4 incidentne s pravcem b,
sve različite od sjecišta pravaca a i b. Promatraju se Papposovi šesterovrsi P1...P5 P6. Za prve četiri točke izaberite
čvrste koordinate po volji, a za P5 i P6 pripadne koordinate u općem obliku (dakako, P5 je na pravcu P1 P3, a P6 na pravcu P2 P4).
Odredite opći oblik jednadžbe Papposovog pravca ovog skupa Papposovih četverovrha.
Ako je (z0 : z1 : z2) neka točka ravnine, može li ona biti incidentna sa
svim Papposovim pravcima promatranog skupa?
U slučaju potvrdnog odgovora, odredite skup takvih točaka.
3. Neka su trovrsi A1 B1 C1, A2 B2 C2 i A3 B3 C3 u parovima centralno perspektivni iz iste točke S kao centra.
Tada pripadne tri osi perspektiviteta imaju zajedničku točku. Dokažite da ova tvrdnja vrijedi u proširenoj euklidskoj ravnini.
4. Neka su A, B, C, D različite točke realnog projektivnog pravca PG(1, R). Promatramo permutacije tih točaka i pripadne dvoomjere,
dakle vrijednosti dvoomjera R(f(A), f(B); f(C), f(D)) za permutacije f uređenog skupa {A,B,C,D}.
Poznato nam je da se može dobiti najviše 6 različitih vrijednosti.
(i) Dokažite da je broj različitih vrijednosti dvoomjera manji od 6 ako i samo ako neka od permutacija čini harmoničku četvorku točaka.
(ii) Postoje li takve točke A, B, C, D i projektivitet g na pravcu da vrijedi g: A, B, C, D -^- A, C, B, D ?
U slučaju potvrdnog odgovora, konstruirajte takav skup točaka {A, B, C, D}.
(iii) Ako su A, B, C tri različite točke pravca PG(1, R), prema poznatim rezultatima znamo da postoji jedinstveni projektivitet j koji fiksira točku A,
a točke B i C preslikava uzajamno. Nadalje, tada znamo da je taj projektivitet involutorni, a onda je i hiperbolički. Zašto?
(Navedite, bez dokaza, tvrdnje iz kojih to zaključujemo). Za zadane A, B, C konstruirajte drugu fiksnu točku projektiviteta j.
5. U proširenoj euklidskoj ravnini zadane su kolinearne točke M, N i P.
Neka je T točka takva da vrijedi H(M,N;P,T). Konstruirajte sliku točke T
u projektivitetu koji točke M, N, P preslikava redom u N, P, M.
(Napomena: postoji dulji i kraći način konstrukcije).
6. Neka je C konika u euklidskoj ravnini zadana jednadžbom y^2 = xy + y + 2x.
Napišite jednadžbu konike C' u proširenoj euklidskoj ravnini kojoj je C euklidski dio.
Ako na C' postoje točke koje ne pripadaju euklidskoj ravnini, odredite
ih i izračunajte jednadže tangenti na C' u tim točkama.
|
